一轮大题专练12—导数（有解问题2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 12—导数（有解问题 2）

1．已知函数，，，．

（1）当时，求证：；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

解：（1）证明：当时，，

则，

，

因为，，

所以，，

因此，

所以在，上单调递增，

于是，

因此在，上单调递增，

所以．

（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，

此时函数仅有 1个零点，

当时，因为，

所以，

，

当，时，，单调递增，

当，时，，

因为，，

所以，所以单调递增，

又，，

因此在，上存在唯一的零点，且．

当时，，所以单调递减，

当，时，，所以单调递增，

又，，，

因此在，上存在唯一的零点，且，，

当时，，所以单调递减，

当，时，，所以单调递增，

又，，，

所以在，上存在唯一零点，

因此在，上有两个零点，

综上，的取值范围是，．

2．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，

，

因为，，

所以曲线在点，处的切线方程为．

（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，

即关于的方程有两个不同的解，

当时，方程不成立，所以，

令，则与的图象有两个交点，

且，

令，得或，令，得或，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得极大值，

当时，取得极小值（1），

因为，且当时，，

所以的取值范围是．

3．已知函数．

（1）若，讨论的单调性；

（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数

的取值范围．

解：（1）依题可得，定义域为，

所以．

当时，由，得，由，得，

则的单调递减区间为，单调递增区间为．

当时，由，得，由，得或，

则的单调递减区间为，单调递增区间为和．

当时，恒成立，则的单调递增区间为．

当时，由，得，由，得或，

则的单调递减区间为，单调递增区间为和．

（2）．

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