一轮大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 10—导数（双变量与极值点偏移问题 2）

1．已知函数，其中是自然对数的

底数，是函数的导数．

（Ⅰ）若，，

（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．

（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．

（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则

．

（Ⅰ）解：（ⅰ）当，，时，，

则（1），，所以（1），

故切点坐标为，切线的斜率为 0，

故切线方程为；

由可得，，

令，解得，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得极小值即最小值，

①当时，无零点；

②当时，在区间，上单调递减，且，

所以是在，上的唯一零点；

③当时，在区间上单调递减，且

又（1），，

所以在区间，上仅有一个零点．

综上所述，当时，在区间，上无零点；

当时，在区间，上仅有一个零点；

（ Ⅱ ）证明：当，，当时，

，

令，，不妨设，，

令

，

其中，

因为，

所以当时，，

故若，且，则．

2．已知函数．

（1）当，时，求的单调区间；

（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式

有解，求实数的取值范围；

（3）设，若有两个相异零点，，求证：．

解：（1）当，时，，

，

，令，则，

令，则，

的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：由题可得，

函数有两个不同的极值点，，

方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得．

不等式有解，．

．

设（a），（a），

故（a）在上单调递增，故（a），

．故实数的取值范围为．

（3），设的两个相异零点为，，

设，欲证，需证．

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