一轮大题专练9—导数（双变量与极值点偏移问题1）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 9—导数（双变量与极值点偏移问题 1）
1．已知定义在 ， 上的函数 ．
（1）若 为定义域上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ， 为 的极小值，求证： ．
解：（1）由 ，得 ，
为 ， 上的增函数，
， ， ，
设 ， ，
为减函数， ，
时 为定义域上的增函数，
故实数 的取值范围是 ， ；
（2）证明： ， ， ，
设 ， ， 为增函数，
， ，
， ，当 时， ， 递减，
当 ， 时， ， 递增， 为 的极小值，
设 ， ， ， ，
设 ， ，
， ，
， 为增函数，
，
， 为增函数，
，
1
， ，
，
又 ， ，
， ，即 ．
2．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在 的最大值；
（Ⅱ）证明：函数 在 有两个极值点 ， ，并判断 与
的大小关系．
（Ⅰ）解：函数 ，
所以 ，则 ，
所以当 时， ，故 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上有唯一的零点 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上的最大值为 ；
（Ⅱ）证明： ，
2
①当 时， 单调递增，
又 ， ，
所以 在 有唯一的零点 ，
此时当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递减，
故 是极小值点，不妨设 ；
②当 时，
，所以 ，
故 在 上单调递增，故 没有极值点；
③当 ， ，
由（Ⅰ）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
故 由唯一的零点 ，
则当 时， ，则 单调递减，
当 ， 时， ，则 单调递增，
又 ， ，
所以 在 由唯一的零点 ，
此时 时， ，则 单调递增，
3
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