一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 8—导数（构造函数证明不等式 2）

1．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，．

解：（1）函数的定义域为，，

令，

当时，，此时在上单调递减；

当时，为二次函数，△ ，

①若 △ ，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则

，此时在上 5单调递减；

②当△ ，即或时，令，解得，

当时，的图象为开口向下的抛物线，，

当，，时，，则，单调递减，当，

时，，则，单调递增；

当时，的图象为开口向上的抛物线，，

当，，则，单调递减，当，，，则

，单调递增；

综上，当时，在上单调递减，在

上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减．

（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

因此对任意恒有（1），即，

又，要证，只需证，

令，则，，

，

，则在，上单调递增，又（1），

当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），

对任意恒有（1），即，即得证．

2．已知函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：

．

解：（1），

，，

故时的切线方程是，

即；

（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，

，，

当时，方程有 2个实根，，则，，

令，

则，

令，则，

故在递增，故，

故在递增，故，故，

故，

故时，，故，

故．

3．已知函数与．是自然对数的

底数，

（1）讨论关于的方程根的个数；

（2）当，时，证明：．

解：（1）令，，，

当时，不满足

当时，，

，，，

因此在区间上单调递增，

（1），在区间上单调递减，

，，根据零点定理，在上存在唯一零点．

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