一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册

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一轮大题专练 6—导数（零点个数问题 2）

1．已知函数．

（1）证明：有唯一极值点；

（2）讨论的零点个数．

解：（1）．

设，则，故单调递增．

又，．

故存在唯一，使得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

故是的唯一极值点；

（2）由（1）是的极小值点，且满足．

又；

同理．

故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无

零点．

又

令，解得，即．

令，

此时关于单调递增，故．

令，解得，即．

此时，故

令，解得，即．

此时关于单调递增，故．

综上所述：当时，有两个零点；

当时，有一个零点；

当时，无零点．

2．已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）画出函数的大致图象，并说明理由；

（3）求函数的零点的个数．

解：（1）函数，定义域为，则，

令，解得，

当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，

故当时，函数有极小值，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极

大值；

（2）令，解得，当时，，当时，，

所以的图象经过特殊点，，，

当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，

结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：

（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个

数，

由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，

结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：

当时，零点的个数为 0个；

当或时，零点的个数为 1个；

当时，零点的个数为 2个．

3．已知函数．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．

解：（1），

由题意得，即在区间上恒成立，

当时，，所以，

故实数的取值范围是，．

（2）由已知得，则，

当时，，函数单调递减，

又，（1），故函数有且只有一个零点．

当时，令，得，函数单调递减；

令，得，函数单调递增，

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