一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2））-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 4—导数（极值、极值点问题 2）
1．已知函数 ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 的极值点个数．
解：（1） 的定义域为 ， ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 （1） ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，
即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）①当 时，由（1）可知 在 上有唯一极小值 （1），
所以极值点个数为 1个．
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 ， 时， ， 单调
递增，
所以 ，
令 （a） ， （a） ，
因 为 ， 所 以 （ a） ， 即 （ a） 在 ， 上 单 调 递 减 ， 所 以 （ a）
，
（ⅰ）当 时， ，在 上， 恒成立，
即 在 上恒成立，所以 无极值点；
（ⅱ）当 时， ， （a） ，即 ，
易知 ， ，
1
所以存在唯一 ， 使得 ，
且当 时， ，当 时， ，则 在 处取得极大值；
又 （1） ，所以当 时， ，当 时， ，即 在 处
取得极小值，
故此时极值点个数为 2．
综上所述，当 时， 的极值点个数为 0；当 时， 的极值点个数为
2；当 时， 的极值点个数为 1．
2．已知函数 （其中常数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 有两个极值点 、 ，且 ，求证： ．
解 ： ， 则 ，
，
令 ， ，△ ，
①当△ ，即 时， ，故 ，所以 在 上单调递增；
②当△ ，即当 时， 有两个实数根 ，
，
又 ， （1） ，且对称轴为 ．，故 ， ，
所以当 或 时， ，则 ，故 单调递增；
当 时， ，则 ，故 单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
2
当 时 ， 在 和 上 单 调 递 增 ， 在
， 单调递减；
（Ⅱ）证明：因为 有两个极值点 、 ，且 ，
所以 为 的极大值点，
由 可知， ， ，所以 ，
，
令 ，
则 对于 恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，
故 ．
3．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ， 时，求证： 总存在唯一的极小值点 ，且 ．
（1）解：函数 的定义域为 ．
当 时， ，所以 ，
易知 在 上单调递增，且 ．
则在 上 ，在 上 ，
从而 在 上单调递减，在 上单调递增．
3
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