一轮大题专练3—导数（极值、极值点问题1））-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 3—导数（极值、极值点问题 1）

1．已知函数．

（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程．

（2）若，证明：存在极小值．

（1）解：当时，，

所以．

所以（1），（1）．

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，

即．

（2）证明：由，得．

令，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为（1）．

因为，所以（1），．

因为在上单调递增，

所以存在，使得，

在上，，在，上，，

即在上，，在，上，，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以存在极小值．

2．已知函数，．

（1）若，函数图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为 2，求切线斜率

取到最小值时的切线方程；

（2）若有两个极值点，且所有极值的和不小于，求的取值范围．

解：（1），，

当时，，当且仅当，即时取等号，取得最

小值，

所以，又（1），

所以，此时切线方程，即；

（2），，

则，

因为有两个极值点，所以在时有两不等根，设为，，

所以，

解得，且，，

，

令，则，，

所以单调递减且，

由，

所以．

3．已知函数的最小值为 0．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设函数，证明：有两个极值点，，且．

解：（Ⅰ），定义域是，

，

时，，在递增，无最小值，不合题意，

时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故（a），解得：，

综上：；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），

则，

，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，递增，

故，而，（1），

故有 2个零点，，其中，，

由，得：，

故，当且仅当时“ ”成立，

显然“ ”不成立，

故．

4．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，

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