一轮大题专练2—导数（恒成立问题2））-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 2—导数（恒成立问题 2）
1．已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
（Ⅰ）证明：令 ， ，
（1）当 时， ，
因为 ，
所以 在 ， 上单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ；
（2） 当 时 ， 则
，所以 ．
综上所述，当 时， ．
（Ⅱ）解：令 ， ，
则 ，
由题意得 在 ， 上恒成立，因为 ，
所以 ，所以 ，
下证当 时， 在 ， 上恒成立，
因为 ，
1
令 ，只需证明 在 ， 上恒成立，
（1）当 时， ，
，因为 在 ， 上单调递减，所以
，
所以 在 ， 上单调递减，所以 ，
所以 在 ， 上单调递减，所以 ；
（2） 当 时 ，
．
综上所述，实数 的取值范围是 ， ．
2．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明： 为自然对数的底数）恒成立．
解：（1） 的定义域为 ， ， 分
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增； 分
当 时，令 ，得到 ．
所以，当 时， ，则 在 上单调递增；
当 ， 时， ，则 在 ， 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减 分
（2）证明：记函数 ，则 ， 分
易知 在 上单调递增，
2
又由 （1） ， （2） 知， 在 上有唯一的实数根 ， 分
且 ，则 ，
即 ， 分
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 ， 时， ，则 在 ， 上单调递增，
所以 ，
结合 ，知 ， 分
所以 ， 分
则 ，即 ，所以 为自然对数的底数）恒成立 分
3．已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数， ．
（1）若对任意的 ， ，总存在 ， ，使得 ，求 的取值范围；
（2）若函数 的图象始终在函数 的图象上方，求 的取值范围．
解：（1）对任意的 ， ，总存在 ， ，使得 ，
， ．
， ， ．
， 在 ， 上单调递增，
（1） ．
， ， ．
，
3
一轮大题专练2—导数（恒成立问题2））-2022届高三数学一轮复习.doc

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