新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(五)　求解平面向量问题的五大策略

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求解平面向量问题的五大策略
平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既可以按照几何的思路处理，
也可以通过运算解决问题，解平面向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问
题．
策略一　用好共线向量定理及其推论
在△ABC 中，AB＝2a，AC＝3b，设 P为△ABC 内部及其边界上任意一点，若AP
＝λa＋μb，则 λμ 的最大值为__________．
【解析】　过点 P作BC 平行线，交AB，AC 于点 M，N，设NP＝tNM，则有AP＝tAM
＋(1 －t)AN(0≤t≤1) ，设AM ＝mAB ，则 有 AN ＝mAC(0≤m≤1) ，所 以 AP ＝tmAB ＋(1 －
t)mAC，
所以AP＝2tma＋3(1－t)mb，所以所以 λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m≤6，由3λ＋2μ≥2得
2≤6，所以 λμ≤，λμ 的最大值为.
【答案】　
(1)A，B，C三点共线时，一定存在实数 λ，使得AB＝λBC或AB＝λAC等；
(2)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点 O，存在实数 t使得OC
＝tOA＋(1－t)·OB或OC＝λOA＋μOB，λ＋μ＝1.　
策略二　用好平面向量基本定理
在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点 O，E是线段 OD 的中点，AE 的延长线
与CD 交于点 F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于(　　)
A．a＋b　　　　　　　　 B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】　如图，
E为OD 中点，
则BE＝3DE.因为 AB∥CD，
则AB＝3DF，OB－OA＝3AF－3AD，
－BD＋AC＝3AF－3(OD－OA)，
3AF＝－BD＋AC＋3×BD＋3×AC，
3AF＝2AC＋BD，则AF＝AC＋BD，
1
即AF＝a＋b.故选 B．
【答案】　B
平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性
组合，即选择了两个不共线向量 e1和e2，平面内的任何一向量 a都可以用向量 e1，e2表示为
a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的，即若 λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则必有 λ1＝μ1，λ2＝μ2.
这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有 λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定
系数法解题提供了理论基础．
策略三　用好向量的坐标表示
(1)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ACD＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰 DC
上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为__________．
(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝60°，M为CD 的中点，若 N为该菱形内任意
一点(含边界)，则AM·AN的最大值为______________．
【解析】　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(2，0)．
设B(0，b)，b>0，则C(1，b)．
因为∠ACD＝90°，
所以AC·DC＝0，即(1，b)·(－1，b)＝0，解得 b＝1，所以 B(0，1)，C(1，1)．
设P(x，y)，DP＝λDC(0≤λ≤1)，
则(x－2，y)＝λ(－1，1)，
得x＝2－λ，y＝λ，
即P(2－λ，λ)．
|PA＋3PB|＝|(λ－2，－λ)＋3(λ－2，1－λ)|
＝|(4λ－8，3－4λ)|
＝
＝，0≤λ≤1，
根据二次函数性质，上式当 λ＝1时取最小值，故其最小值为＝.
(2) 建立如 图所示 的平面直 角坐标系 ，则B(2 ，0)，C(3 ，)，D(1，)，M(2，)，设
N(x，y)，则
2
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