新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(七)　确定球心位置的三种方法

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确定球心位置的三种方法
决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过
位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．
方法一　由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距
离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．
(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算
得到；
(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表
面积是(　　)
A．16π　　　　　　　 B．20π
C．24π D．32π
【解析】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，可求得底
面边长为 2，故球的直径为＝2，则半径为，故球的表面积为 24π，故选 C．
【答案】　C
方法二　构造长方体或正方体确定球心
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将
三棱锥补形成长方体或正方体；
(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补
形成长方体或正方体；
(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．
　如图，边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F分别是边 AB，BC 的中点，将
△AED，△EBF，△FCD 分别沿 DE，EF，FD 折起，使 A，B，C三点重合于点 A′，若四
面体 A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　易知四面体 A′EFD 的三条侧棱 A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F
＝1，A′D＝2，把四面体 A′EFD 补成从顶点 A′出发的三条棱长分别为 1，1，2的一个长方
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