新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(六)　解决数列问题的七大常用技巧

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解决数列问题的七大常用技巧
技巧一　巧用性质减少运算
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每
个量，从整体上使用公式．
(1)等比数列{an}中，已知 a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则 a9＋a11＋a13＋a15 的值为(
)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S6＞S7＞S5，则满足 SkSk＋1＜0的正整数 k＝
__________．
[点拨]　(1)可直接把 a1＋a3看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入
即可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差
数列的前 n项和的性质．
【解析】　(1)法一：因为{an}为等比数列，所以 a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11 的等比中项
所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.
同理，a9＋a11 是a5＋a7与a13＋a15 的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，
故a13＋a15＝＝＝1.
所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
法二：设等比数列{an}的公比为 q，
则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以 q4＝＝＝.
又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，
a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，
所以 a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)依题意得 a6＝S6－S5＞0，
a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，
则S11＝＝11a6＞0，
S12＝＝＞0，
S13＝＝13a7＜0，
所以 S12S13＜0，即满足 SkSk＋1＜0的正整数 k＝12.
【答案】　(1)C　(2)12
技巧二　巧用升降角标法实现转化
在含有 an，Sn对任意正整数 n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个
等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．
1
设Sn是数列{an}的前 n项和，已知 a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通
项公式．
【解】　当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，
得an＝2Sn－1＋3，
两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
所以 an＋1＝3an，
所以＝3.
当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.
所以数列{an}是以 3为首项，3为公比的等比数列．
所以 an＝3×3n－1＝3n.
技巧三　巧用不完全归纳找规律
解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性
规律．
在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记 Sn为数列{an}的前 n
项和，则 S2 018＝__________．
[点拨]　根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求 S2 018 的值．
【解析】　由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝
－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，
…由此可知，数列{an}是以 4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以 S2 018＝
504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1 005.
【答案】　－1 005
技巧四　巧用辅助数列求通项
已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等
差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．
(1)当出现 an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；
(2)当出现 an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列．
(1)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求数列{an}的通项公式．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，
设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以 2t－t＝3，解得 t＝3，所以 bn＋1
＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以 4为首项，2为
公比的等比数列，所以 bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以 bn＝2n＋1－3，所以 an＝bn·2n＝(2n＋1－
3)×2n＝22n＋1－3×2n.
(2)因为 an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以 3t－t＝1，解得 t＝，所以＋＝3，
又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以 an＝.
技巧五　巧用裂项求和
2
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