新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(二)　数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论

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　　　　　　　　　　　数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论
函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转
换，再利用单调性解决相关问题．
一、奇函数的最值性质
已知函数 f(x)是定义在区间 D上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特
别地，若奇函数 f(x) 在D上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
设函数 f(x)＝的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________．
【解析】　函数 f(x)的定义域为 R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以 g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0，
所以 M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】　2
二、抽象函数的周期性
(1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(2)如果 f(x＋a)＝(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
已知定义在 R上的函数 f(x)，对任意实数 x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数 f(x－1)
的图象关于直线 x＝1对称，f(1)＝2，则 f(17)＝________．
【解析】　由函数 y＝f(x－1)的图象关于直线 x＝1对称可知，函数 f(x)的图象关于 y轴
对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，所以 f(x)是最小正周期为 8
的偶函数，所以 f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.
【答案】　2
三、抽象函数的对称性
已知函数 f(x)是定义在 R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝对称，特别地，若 f(a＋x)
＝f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
(2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点
(a，0)对称．
(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x＋2)＝－
f(x)，下面关于 f(x)的判定，其中正确命题的个数为(　　)
①f(4)＝0；
②f(x)是以 4为周期的函数；
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