新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(八)　解析几何减少运算量的常见技巧

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解析几何减少运算量的常见技巧
技巧一　巧用平面几何性质
已知 O为坐标原点，F是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为 C的左，
右顶点．P为C上一点，且 PF⊥x轴．过点 A的直线 l与线段 PF 交于点 M，与 y轴交于点
E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
【解析】　设OE 的中点为 N，如图，因为 MF∥OE，所以有＝，＝.又因为 OE＝
2ON，所以有＝·，解得 e＝＝，故选 A．
【答案】　A
此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．　
技巧二　设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦
的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．
已知椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F的直线交 E于A，B两
点．若 AB 的中点坐标为 M(1，－1)，则 E的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】　通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
①－②得＋＝0，
所以 kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，解得 b2＝9，a2＝18，
所以椭圆 E的标准方程为＋＝1.
优解：由kAB·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，
又a2－b2＝9，所以 a2＝18，b2＝9，
所以椭圆 E的标准方程为＋＝1.
1
【答案】　D
本题设出 A，B两点的坐标，却不求出 A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜
率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．　
技巧三　巧用“根与系数的关系”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法
来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关
系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
已知椭圆＋y2＝1的左顶点为 A，过 A作两条互相垂直的弦 AM，AN 交椭圆
M，N两点．
(1)当直线 AM 的斜率为 1时，求点 M的坐标；
(2)当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x轴上的一定点？若过定点，请给出证
明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【解】　(1)直线 AM 的斜率为 1时，直线 AM 的方程为 y＝x＋2，代入椭圆方程并化简
得5x2＋16x＋12＝0.
解得 x1＝－2，x2＝－，所以 M.
(2)设直线 AM 的斜率为 k，直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)，联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则xA＋xM＝，又xA＝－2，
则xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得 xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为 P.
证明如下：
因为 kMP＝＝＝，
同理可计算得 kPN＝.
所以直线 MN 过x轴上的一定点 P.
本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出 xM＝，这体现了整体思想．这是解决解析
几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．　
技巧四　巧妙“换元”减少运算量
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问
题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题
简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．
如图，已知椭圆 C的离心率为，点 A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右
焦点，且 S△ABF＝1－.
2
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