新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第9讲　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销
售400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y与投放市场的月
数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C．根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，
代入数据验证即可得．故选 C．
2．已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P从B点开始沿折线 BCDA 向A点运动．设点
P运动的路程为 x，△ABP 的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象是(　　)
解析：选D．依题意知当 0≤x≤4时，f(x)＝2x；当 4<x≤8时，f(x)＝8；当 8<x≤12 时，
f(x)＝24－2x，观察四个选项知 D项符合要求．
3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁
到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车
载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，
这两项费用 y1，y2分别是 2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离
车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A．设仓库应建在离车站 x千米处．因为仓库每月占用费 y1与仓库到车站的
距离成反比，所以令反比例系数为 m(m>0)，则y1＝.当x＝10 时，y1＝＝2，所以 m＝20.因
为每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为 n(n>0)，则y2
＝nx.当x＝10 时，y2＝10n＝8，所以 n＝.所以两项费用之和为 y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，当且
仅当＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5千米处．
故选 A．
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校 2017 年全年投入
科研经费 1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 12%，则该高校全
年投入的科研经费开始超过 2 000 万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg
2≈0.30)(　　)
A．2020 年 B．2021 年
C．2022 年 D．2023 年
解析：选B．若 2018 年是第一年 ，则第 n(n∈N＋)年科研费为 1 300×1.12n，由1
1
300×1.12n>2 000，可得 lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，
到2021 年科研经费超过 2 000 万元．故选 B．
5．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星
的星等与亮度满足 m2－m1＝lg，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等
是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A． 1010.1 B． 10.1
C． lg 10.1 D． 10－10.1
解析：选A．根据题意，设太阳的星等与亮度分别为 m1与E1，天狼星的星等与亮度分
别为 m2与E2，则由已知条件可知 m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足
m2－m1＝lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg ＝10.1，所以
＝1010.1，故选 A．
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)
2019 年5月1日12 35 000
2019 年5月15 日48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，
而行驶的路程为 35 600－35 000＝600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48÷6＝8(升)．　
答案：8
7．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，
晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆
的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中
水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十
步，则圆池的直径和方田的边长分别是________步和________步．(注：240 平方步为1亩，
圆周率按 3近似计算)
解析：设圆池的半径为 r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝
13.75×240，解得 r＝10 或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步．
答案：20　60
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，此外每生产1件该产品还需要
增加投资1万元，年产量为 x(x∈N*)件．当x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x
＞20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得
年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0<x≤20 时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当 x＞20 时，y＝260
－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
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