新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第8讲　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．(2020·河南商丘九校联考)函数 f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．要使函数有意义，则x2－4≥0，解得 x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝
0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为 2.故选 B．
2．函数 y＝x－4·的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B． 因为 y＝f(x)＝x－4＝x－是 R上的连续递增的函数，且f(1) ＝1－
2<0，f(2)＝2－1>0，所以 f(1)·f(2)<0，故函数 y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选
B．
3．(一题多解)函数 f(x)＝2x－零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．法一：当x<0 时，f(x)＝2x－>0 恒成立，无零点；又易知 f(x)＝2x－在(0，
＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又 f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选
B．
法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数 y＝2x和y＝的图象，如图所示．
函数 f(x)＝2x－的零点等价于 2x＝的根等价于函数 y＝2x和y＝的交点．
由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选 B．
4．(2020·内蒙古月考)已知函数 f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数 m的取值范围
为(　　)
A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)
解析：选B．在同一平面直角坐标系内作出函数 y＝x2－2|x|的图象和直线 y＝m，可知
当m>0 或m＝－1时，直线 y＝m与函数 y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数 f(x)＝x2－2|
x|－m有两个零点．故选 B．
1
5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)
A．ln x＝1－x B．ex＝
C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1
解析：选ABD．对于 A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知 y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln
x＝1－x有唯一解，符合题意；对于 B，设g(x)＝ex－，易知 y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜
0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得 ex＝有唯一解，符合题意；对于 C，设h(x)＝
x2＋lg x－2，易知 y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在
定理可得 h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两
个解，不符合题意；对于 D，因为 cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当 x＝0时，cos x＝x
＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题意．
6．已知函数 f(x)＝＋a的零点为 1，则实数 a的值为________．
解析：由已知得 f(1)＝0，即＋a＝0，解得 a＝－.
答案：－
7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数 f(x)＝ex＋x－a，若 x∈(－1，1)时，函
数有零点，则 a的取值个数为________．
解析：根据函数解析式得到函数 f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若 x∈(－
1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1<a<e＋1，因为 a是整数，故可得 a的可能取值为
0，1，2，3.
答案：4
8．已知 f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比 1大，一个零点比 1小，则实数 a的
取值范围是________．
解析：法一：设方程 x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为 x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2
－1)<0，所以 x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.
故实数 a的取值范围为(－2，1)．
法二：函数 f(x)的图象大致如图，
则有 f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2<a<1.
2
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