新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第8讲　第2课时　圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

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第2课时　圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
考点一　圆锥曲线中的定值问题(综合型)
探究圆锥曲线的定值问题，常先从特殊情形入手，找到满足题意的定直线方程，再从
一般情形进行推理得到关联坐标的等式，验证等式成立即可．
(2018·高考北京卷)已知抛物线 C：y2＝2px 经过点 P(1，2)．过点 Q(0，1)的直线 l
与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交y轴于 M，直线 PB 交y轴于 N.
(1)求直线 l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．
【解】　(1)因为抛物线 y2＝2px 过点(1，2)，
所以 2p＝4，即p＝2.
故抛物线 C的方程为 y2＝4x.
由题意知，直线 l的斜率存在且不为 0.
设直线 l的方程为 y＝kx＋1(k≠0)．
由得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意 Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，
解得 k＜0或0＜k＜1.
又PA，PB 与y轴相交，
故直线 l不过点(1，－2)．
从而 k≠－3.
所以直线 l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线 PA 的方程为 y－2＝(x－1)．
令x＝0，得点 M的纵坐标为 yM＝＋2＝＋2.
同理得点 N的纵坐标为 yN＝＋2.
由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
所以＋＝＋＝＋
＝·
＝·＝2.
所以＋为定值．
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
1
(1)引起变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．　
　(2020·长沙市统一模拟考试)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，
左、右焦点分别为 F1，F2，A为椭圆 C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设椭圆 C的左、右顶点分别为 A1，A2，过 A1，A2分别作 x轴的垂线 l1，l2，椭圆 C
的一条切线 l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于 M，N两点，求证：∠MF1N为定值．
解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以 a2＝9，b2＝8，
故椭圆 C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可知，l1的方程为 x＝－3，l2的方程为 x＝3.
直线 l分别与直线 l1，l2的方程联立得 M(－3，－3k＋m)，N(3，3k＋m)，
所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4，3k＋m)，
所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.
联立
得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线 l与椭圆 C相切，
所以 Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9m2－72)＝0，
化简得 m2＝9k2＋8.
所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，
所以F1M⊥F1N，
故∠MF1N为定值.
考点二　圆锥曲线中的定点问题(综合型)
1.引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与
参数何时没有关系，找到定点．
2．特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2020·安徽省考试试题)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为 P，右顶点为
Q，直线 PQ 与圆 x2＋y2＝相切于点 M.
(1)求椭圆 C的方程；
2
(2)若不经过点 P的直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，且PA·PB＝0，求证：直线 l过定点．
【解】 (1)由已知得直线 OM(O为坐标原点)的斜率 kOM＝2，则直线 PQ 的斜率 kPQ＝－
＝－，
所以直线 PQ 的方程为 y－＝－，
即x＋2y＝2.可求得 P(0，1)，Q(2，0)，故a＝2，b＝1，
故椭圆 C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线 l的斜率不存在时，显然不满足条件．
当直线 l的斜率存在时，设l的方程为 y＝kx＋n(n≠1)，
联立消去 y整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，
Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)＞0，得4k2＋1＞n2.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.②
由PA·PB＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，所以(k2＋
1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③
由②③得 n＝1(舍)，或n＝－，满足①.
此时 l的方程为 y＝kx－，故直线 l过定点.
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标
的一般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性
得到定点坐标．
(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)来证明．　
　(2020·武汉模拟)过抛物线 C：y2＝4x的焦点 F且斜率为 k的直线 l交抛
物线 C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线 l的方程；
(2)若A关于 x轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标．
解：(1)由y2＝4x知焦点 F的坐标为(1，0)，则直线 l的方程为 y＝k(x－1)，
代入抛物线方程 y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知 k≠0，
且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.
由抛物线的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，则＝6，即k2＝1，解得 k＝±1.
所以直线 l的方程为 y＝±(x－1)．
(2)证明：由(1)及抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，
3
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