新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第8讲　第1课时　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题

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第8讲　圆锥曲线的综合问题
一、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程 C1与直线方程 l联立消去 y，整理得到关于 x的方程 ax2＋
bx＋c＝0.
方程 ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点
a＝0
b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的
渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ＞0两个不相等的解 两个交点
Δ＝0两个相等的解 一个交点
Δ＜0无实数解 无交点
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与
圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为 k(k≠0)的直线 l与圆锥曲线 C相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
常用结论
圆锥曲线以 P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a＞b＞0) k＝－
双曲线：－＝1(a＞0，b＞0) k＝
抛物线：y2＝2px(p＞0) k＝
二、教材衍化
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C．结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3条：直线 x＝0，过点(0，1)
且平行于 x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0)．
2．已知与向量 v＝(1，0)平行的直线 l与双曲线－y2＝1相交于 A，B两点，则|AB|的最
小值为________．
解析：由题意可设直线 l的方程为 y＝m，
1
代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以 x1＝＝2，x2＝－2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4，
即当 m＝0时，|AB|有最小值 4.
答案：4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线 l与抛物线 y2＝2px 只有一个公共点，则 l与抛物线相切．(　　)
(2)直线 y＝kx(k≠0)与双曲线 x2－y2＝1一定相交．(　　)
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　　)
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　　)
(5)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；
(2)不会用函数法解最值问题．
1．直线 y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A．直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交．
2．抛物线 y＝x2上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选B．设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，
所以 x＝时，dmin＝.
第1课时　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题
考点一　证明问题(综合型)
(2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为 k的直线 l与椭圆 C：＋＝1交于 A，B两点，
线段 AB 的中点为 M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上的点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等
差数列．
【证明】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
2
由题设知＝1，＝m，于是 k＝－.
由题设得 0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得 F(1，0)．设 P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)．
由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又点 P在C上，
所以 m＝，从而 P，|FP|＝.
于是|FA|＝＝＝2－.　
同理|FB|＝2－.
所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.
故2|FP|＝|FA|＋|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．
圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接
法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题
转化为另一问题．　
　(2020·江西七校第一次联考)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)经过点 M，
其离心率为，设直线 l：y＝kx＋m与椭圆 C相交于 A，B两点．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)已知直线 l与圆 x2＋y2＝相切，求证：OA⊥OB(O为坐标原点)．
解：(1)因为 e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以 a2＝2b2，
所以椭圆 C的方程为＋＝1.
因为在椭圆上，
所以＋＝1，b2＝1，a2＝2，
所以椭圆 C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：因为直线 l与圆 x2＋y2＝相切，
所以＝，
即3m2－2k2－2＝0，由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，
所以 OA⊥OB.
3
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