新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第8讲　第1课时　高效演练分层突破

3.0 envi 2025-04-11 17 4 127.22KB 3 页 3知币
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[基础题组练]
1．过椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点 A且斜率为 k的直线交椭圆 C于另一个点 B，
且点 B在x轴上的射影恰好为左焦点 F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意知 B，所以 k＝＝＝1－e.又＜k＜，所以＜1－e＜，解得＜e＜.
2．抛物线 y2＝8x的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1＋
x2＋4＝|AB|，则∠AFB 的最大值为________．
解析：由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2.
又x1＋x2＋4＝|AB|，
即|AB|＝(|AF|＋|BF|)，
所以 cos ∠AFB＝＝
＝＝×－≥×2－＝－，
当且仅当＝即|AF|＝|BF|时，等号成立．
又0＜∠AFB＜π，所以∠AFB 的最大值为.
答案：
3．设椭圆 E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点 O为坐标原点，点 A的坐标为(a，0)，点 B
的坐标为(0，b)，点 M在线段 AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线 OM 的斜率为.
(1)求E的离心率 e；
(2)设点 C的坐标为(0，－b)，N为线段 AC 的中点，证明：MN⊥AB.
解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，　
又kOM＝，从而＝.
进而 a＝b，c＝＝2b，
故e＝＝.
(2)证明：由N是AC 的中点知，点 N的坐标为，可得NM＝.
又AB＝(－a，b)，
从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．　
由(1)的计算结果可知 a2＝5b2，
所以AB·NM＝0，故 MN⊥AB.
4．(2020·重庆南开中学质检)已知 A(0，)，B(，1)是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)上的两点．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，M为椭圆 C上一动点，点 P(3，0)，线段 PM 的垂直平分线交 y轴
于点 Q，求|OQ|的最小值．
解：(1)由题意知代入 A，B两点坐标得＝1，
＋＝1.
1
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