新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第7讲　抛物线

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第7讲　抛物线
一、知识梳理
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点 F的距离与到定直线 l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
图形
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0x＝0
焦点 FFFF
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0，y0)) |PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋
常用结论
与焦点弦有关的常用结论
(以图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线 AB 的倾斜角)．
(3)＋为定值.
1
(4)以AB 为直径的圆与准线相切．
(5)以AF 或BF 为直径的圆与 y轴相切．
(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p(通径)．
二、教材衍化
1．若抛物线的焦点是 F，则抛物线的标准方程为________．
答案：x2＝－2y
2．抛物线 y2＋4x＝0的准线方程________．
答案：x＝1
3．抛物线 y2＝12x上与焦点的距离等于 6的点的坐标是________．
答案：(3，±6)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点 P(－2，3)，则其标准方程可写为 y2＝2px(p＞0)．(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
(1)不注意抛物线方程的标准形式；
(2)忽视 p的几何意义．
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D．设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛物线方程
为y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方程为 x2＝
－8y.
2．已知抛物线 C与双曲线 x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C的方
程是________．
解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为 y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以 p＝2，所以抛物线方程为 y2＝±4x.
答案：y2＝±4x
考点一　抛物线的定义(基础型)
了解抛物线的定义及几何图形．
核心素养：　直观想象
2
(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点
P在C上，且|PF|＝，则 p＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)设P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若 B(3，2)，则|PB|＋|PF|
的最小值为________．
【解析】　(1)抛物线的准线方程为 y＝－，因为 P 在抛物线上，所以点 P到准线的距
离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选 B．
(2)如图，过点 B作BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
【答案】　(1)B　(2)4
【迁移探究 1】　(变条件)若将本例(2)中的 B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小
值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为 2.
【迁移探究 2】　(变设问)若本例(2)条件不变，求 P到准线 l的距离与 P到直线 3x＋4y
＋7＝0的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义可知点 P到准线 l的距离等于点 P到焦点 F的距离，由抛物线 y2
＝4x及直线方程 3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点 P到准线 l的距离与点 P到
直线 3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点 F(1，0)到直线 3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距
离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　
1．已知 F是抛物线 y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线
3
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