新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第7讲　解三角形应用举例及综合问题

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第7讲　解三角形应用举例及综合问题
一、知识梳理
1．仰角和俯角
在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视
线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
常用结论
1．明确两类角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．解三角形应用题的一般步骤
二、教材衍化
1
1．如图所示，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A所在的同侧河岸边选定一点
C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B两点的距
离为________米．
答案：50
2．如图，在塔底 D的正西方 A处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 D的南偏东 60°的B
处测得塔顶的仰角为 30°，A，B间的距离是 84 m，则塔高 CD＝________m.
解析：设塔高 CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD 中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，
解得 x＝12(负值舍去)，故塔高为 12 m.
答案：12
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望 B处的仰角为 α，从 B处望 A处的俯角为 β，则 α，β的关系为 α＋β＝180°.
(　　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(
)
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、易错纠偏
常见误区(1)仰角、俯角概念不清；
(2)方向角概念不清；
(3)方位角概念不清．
1.如图所示，已知两座灯塔 A和B与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔 A在观察
站C的北偏东 20°的方向上，灯塔 B在观察站 C的南偏东 40°的方向上，则灯塔 A相对于灯
2
塔B的方向为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．北偏西 5° B．北偏西 10°
C．北偏西 15° D．北偏西 20°
解析：选B．易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西 40°的方向上，又40°－30°＝10°，
故灯塔 A相对于灯塔 B的方向为北偏西 10°.
2．在某次测量中，在 A处测得同一半平面方向的 B点的仰角是 60°，C点的俯角为
70°，则∠BAC＝________
答案：130°
3．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台
顶部测得两条船的俯角分别为 45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成 30°角，则两
条船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON 中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．
答案：10
考点一　解三角形应用举例(应用型)
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题．
核心素养：数学建模
角度一　测量距离问题
(2020·福建宁德 5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给
人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所
示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝
3
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