新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第7讲　高效演练分层突破(2)

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[基础题组练]
1．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
解析：选B．抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得 p
＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
2．(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，其上的点 P(m，
－3)到焦点的距离为 4，则抛物线方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
解析：选C．依题意，设抛物线的方程为 x2＝－2py(p＞0)，则＋3＝4，所以 p＝2，所
以抛物线的方程为 x2＝－4y，故选 C．
3．(2020·甘肃张掖第一次联考)已知抛物线 C1：x2＝2py(y＞0)的焦点为 F1，抛物线
C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为 F2，点 P在C1上，且|PF1|＝，则直线 F1F2的斜率为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B．因为|PF1|＝，
所以＋＝，解得 p＝.
所以 C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1，0)，
所以直线 F1F2的斜率为＝－.故选 B．
4. (应用型)(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”
之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为 5 m，跨径为 12 m，则桥形对应的抛
物线的焦点到准线的距离为(　　)
A． m B． m
C． m D． m
解析：选D．建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为 x2＝－2py，p＞0，
因为抛物线过点(6，－5)，所以 36＝10p，可得 p＝，
1
所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．故选 D．
5．(2020·河北衡水三模)设F为抛物线 y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，
若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|FA|＋|FB|＋|FC|＝10，则 x1＋x2
＝(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
解析：选A．根据抛物线的定义，知|FA|，|FB|，|FC|分别等于点 A，B，C到准线 x＝
－1的距离，所以由|FA|＋|FB|＋|FC|＝10，可得 2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选
A．
6．在直角坐标系 xOy 中，有一定点 M(－1，2)，若线段 OM 的垂直平分线过抛物线 x2
＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段 OM 的垂直平分线的方程为 2x－4y＋5＝0，把焦点坐标代入可
求得 p＝，所以准线方程为 y＝－.
答案：y＝－
7．以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A，B两点，交 C的准线于 D，E两点．已知|
AB|＝4，|DE|＝2，则 C的焦点到准线的距离为________．
解析：由题意，不妨设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取
A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，
得＋8＝＋5，得p＝4.
答案：4
8．(2020·湖南师大附中月考改编)抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，其准线与双曲线－
＝1相交于 A，B两点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝________，抛物线的焦点到双曲线
渐近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为 y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－
＝1，解得 x＝±，因为△ABF 为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得 p＝6.则抛物线
的焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为 y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距
离为＝.
答案：6　
9．顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线截直线 y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛
物线方程．
解：设所求的抛物线方程为 y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线 y＝2x－4代入
y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
2
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