新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　正弦定理和余弦定理

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第6讲　正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R
(R为△ABC 外接圆半径)
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos _A；
b2＝c 2
＋ a 2
－ 2 ca cos _B；
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos _C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2 R sin _B，c＝2 R sin _C；
(2)a∶b∶c＝sin_A ∶ sin _B ∶ sin _C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin
A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.△ABC 的面积公式
(1)S△ABC＝a·h(h表示边 a上的高)．
(2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A
．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
[注意]　上表中 A为锐角时，a<bsin A，无解．
A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC 中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C
．
(2)cos(A＋B)＝－cos C
．
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；
1
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B
．
二、教材衍化
1．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c若c<bcos A，则△ABC 为(　　)
A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
2．在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为在△ABC 中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理
得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC＝.故选 C．
3．在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC 的面积等于________．
解析：设△ABC 中，角A，B，C对应的边分别为 a，b，c，由题意及余弦定理得 cos A
＝＝＝，解得 c＝2.所以 S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC 中，若 sin A＞sin B，则 A＞B
．
(　　)
(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 C＝60°，b＝，c＝3，则 A＝
________．
解析：由题意：＝，即sin B＝＝＝，结合 b＜c可得 B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2．设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－，3sin A＝
2sin B，则 c＝________．
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以 b＝a＝3.
由余弦定理 cos C＝，
得－＝，解得 c＝4.
答案：4
2
考点一　利用正、余弦定理解三角形(基础型)
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决
问题．
核心素养：数学运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 asin
A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且
2c＋a＝2bcos A
．
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边 AC 的中点为 D，求 BD 的长．
【解】　(1)选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝
＝＝－，得＝6.故选 A．
(2)①由2c＋a＝2bcos A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以 2sin Acos B＋sin A＝0，
因为 sin A≠0，所以 cos B＝－，
因为 0＜B＜π，所以 B＝.
②由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2a·ccos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以 b＝7，所以 AD
＝.
因为 cos∠BAC＝＝＝，
所以 BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，
所以 BD＝.
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；
二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；
二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三
3
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