新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　立体几何中的向量方法

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第6讲　立体几何中的向量方法
一、知识梳理
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角 θa与b的夹角 β
范围 [0，π]
求法 cos θ＝cos β＝
2.直线与平面所成角的求法
设直线 l的方向向量为 a，平面 α的法向量为 n，直线 l与平面 α所成的角为 θ，a与n
的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝．
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β的两个面内与棱 l垂直的直线，则二面角的
大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β的两个半平面 α，β的法向量，则二面角的
大小 θ满足|cos θ|＝| cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与n2的夹角(或其补角)．
常用结论
利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点 A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知 AB 为平面 α的一条斜线段，n为平面 α的法向量，则B到平面 α的距
离为|BO|＝.
二、教材衍化
1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角
的大小为________．
解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为 45°或180°－
45°＝135°.
答案：45°或135°
1
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线 DE 与AC 夹角的余
弦值为________．
解析：如图建立空间直角坐标系 D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则
AC＝(－1，1，0)，DE＝，设异面直线 DE 与AC 所成的角为 θ，则cos θ＝|cos〈AC，DE〉|
＝.
答案：
3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则
AC1与侧面 ABB1A1所成的角为________．
解 析 ： 以C为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，如 图 所 示 ，得 下 列 坐 标 ：
A(2 ，0，0) ，C1(0 ，0，2) ． 点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2.所 以 AC1 ＝(－
2，0，2)，AC2＝，设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为 θ，则cos θ＝＝＝.又θ∈，所以 θ
＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.(　　)
(3)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角
的大小为 45°.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
2
(1)异面直线所成角的取值范围出错；
(2)二面角的取值范围出错．
1．已知 2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以 b，c为方向
向量的两直线的夹角为________．
解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，
即2a·c＋b·c＝－10.因为 a·c＝4，所以 b·c＝－18，所以 cos〈b，c〉＝＝＝－，所以
〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为 60°.
答案：60°
2．已知向量 m，n分别是直线 l的方向向量、平面 α的法向量，若 cos〈m，n〉＝
－，则 l与α所成的角为________．
解析：设l与α所成的角为 θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，所以 θ＝30°.
答案：30°
考点一　异面直线所成的角(基础型)
能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题．
核心素养：数学运算
如 图 ，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平 面 ABCD ，底 面 ABCD 是菱形，AB ＝
2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面 PAC；
(2)若PA＝AB，求PB 与AC 所成角的余弦值．
【解】　(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD.
因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD.
又因为 AC∩PA＝A，所以 BD⊥平面 PAC.
(2)设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以 BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，
3
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