新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．(2020·湖南长沙一模)已知一种元件的使用寿命超过 1年的概率为 0.8，超过 2年的
概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过 2年的概率
为(　　)
A．0.75 B．0.6
C．0.52 D．0.48
解析：选A．设一个这种元件使用到 1年时还未损坏为事件 A，使用到 2年时还未损坏
为事件 B，则由题意知 P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过 2年的概率为
P(B|A)＝＝＝0.75，故选 A．
2． 设 每 个 工 作 日 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4人 需 使 用 某 种 设 备 的 概 率 分 别 为
0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 3人需使用设备的
概率为(　　)
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
解析：选C．设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 A，B，C，D，则P(A)＝
0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好 3人使用设备的概率
P1＝P(ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD)
＝(1 －0.6)×0.5×0.5×0.4 ＋0.6×(1 －0.5)×0.5×0.4 ＋0.6×0.5×(1 －0.5)×0.4 ＋
0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，
4人使用设备的概率
P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，
故所求概率 P＝0.25＋0.06＝0.31.
3．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的 200 个机
械元件情况如下：
使用时间/天10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取 3个，则至少有 2个元件的使用寿
命在 30 天以上的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由表可知元件使用寿命在 30 天以上的概率为＝，则所求概率为 C×＋＝.
4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p, 各成员的支付方式相互独立．设 X
为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则 p＝(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
1
解析：选B．由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，
所以 DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以 p＝0.6 或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜
Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以 p＞0.5，所以 p＝0.6.
5．(2020·河南中原名校联盟一模)市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，
其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电
器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电
器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合
格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的
家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为
×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在
网上购买的可能性 P＝＝.
6．投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中
的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
解析：该同学通过测试的概率 P＝C×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.
答案：0.648
7．小赵、小钱、小孙、小李到 4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A为“4个
人去的景点不相同”，事件 B为“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)＝________．
解析：小赵独自去一个景点共有 4×3×3×3＝108 种情况，即n(B)＝108，4个人去的
景点不同的情况有 A＝4×3×2×1＝24 种，即n(AB)＝24，所以 P(A|B)＝＝＝.
答案：
8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5个问题中，选手若能连续正确回答出两
个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个
问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮的概率为________，
该选手回答了 5个问题结束的概率为________．
解析：依题意，该选手第 2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题
回答正误均有可能，则所求概率 P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128.
依题意，设答对的事件为 A，可分第 3个正确与错误两类，若第 3个正确则有 AAAA或
A　AAA两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝
0.032 0.该选手第 3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有 1个错
误，则所求概率 P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为 0.032
0＋0.072＝0.104.
答案：0.128　0.104
9．(2020·湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人
2
单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记 1分，未出
线记 0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；
(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量 ξ，求随机变
量ξ的分布列．
解：(1)记“甲出线”为事件 A，“乙出线”为事件 B，“丙出线”为事件 C，“甲、
乙、丙至少有一名出线”为事件 D，
则P(D)＝1－P(A　B　C)＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值为 0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝P(A　B　C)＝；
P(ξ＝1)＝P(AB　C)＋P(A　B　C)＋P(A　B C)＝；
P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.
所以 ξ的分布列为
ξ0123
P
10.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如
图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续 3天里，有连续 2天的日销售量都不低于 100 个且另 1天的日销售量
低于 50 个的概率；
(2)用X表示在未来 3天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X的分布列．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于 100 个”，A2表示事件“日销售量低于 50
个”，B表示事件“在未来连续 3天里，有连续 2天的日销售量不低于 100 个且另 1天的日
销售量低于 50 个”．
因 此 P(A1)＝(0.006 ＋0.004 ＋0.002)×50 ＝0.6 ，P(A2)＝0.003×50 ＝0.15 ，P(B)＝
0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能的取值为 0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
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