新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　高效演练分层突破(2)

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[基础题组练]
1.将边长为 1的正方形 AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，
A1B1长为，其中 B1与C在平面 AA1O1O的同侧．则异面直线 B1C与AA1所成的角的大小为(
)
A． B．
C． D．
解析：选B．以 O为坐标原点建系如图，
则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.
所以AA1＝(0，0，1)，B1C＝(0，－1，－1)，
所以 cos〈AA1，B1C〉＝
＝＝－，
所以〈AA1，B1C〉＝，
所以异面直线 B1C与AA1所成的角为.故选 B．
2.如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段 AB 上一点，
且AE＝AB，则 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z
轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以
DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．
1
设平面 D1EC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则即即取 y＝1，得n＝(2，1，3)．
因为 cos〈DC1，n〉＝
＝＝，所以 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为，故选 A．
3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E为BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所
成的锐二面角的余弦值为________．
解 析 ： 以A为 坐 标 原 点 ，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ，设 棱 长 为 1，则
A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝.设平面 A1ED 的法向量为 n1
＝(1，y，z)，则
即所以所以 n1＝(1，2，2) ．又平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝(0，0，1)，所以
cos〈n1·n2〉＝，故平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为.
答案：
4.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为 AB，AA1，A1C1的
中点，则 B1F与平面 GEF 所成角的正弦值为________．
解 析 ： 设 正 三 棱 柱 的 棱 长 为 2，取AC 的 中 点 D，连 接 DG ，DB ，分 别 以
DA，DB，DG 所在的直线为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
2
则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，
B1F＝(1，－，－1)，EF＝，GF＝(1，0，－1)．
设平面 GEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故n＝(1，，1)为平面 GEF 的一个法向量，
所以|cos〈n，B1F〉|＝＝，
所以 B1F与平面 GEF 所成角的正弦值为.
答案：
5. 如图所示，菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60° ，AC 与BD 相交于点 O，AE⊥ 平 面
ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面 ACFE；
(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时，求异面直线 OF 与BE 所成角的余弦值的
大小．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 BD⊥AC.
因为 AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
所以 BD⊥AE.
又因为 AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面 ACFE.
所以 BD⊥平面 ACFE.
(2)以O为原点，OA，OB 所在直线分别为 x轴，y轴，过点 O且平行于 CF 的直线为 z
轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，
3
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