新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　高效演练分层突破(1)

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[基础题组练]
1．设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且 b<c，
则b＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．
解析：选C．由余弦定理 b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得 b＝2或b＝
4，因为 b<c＝2，所以 b＝2.选C．
2．△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝，c＝4，cos A＝，则
△ABC 的面积等于(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
解析：选B．因为 cos A＝，则sin A＝，所以 S△ABC＝×bcsin A＝，故选 B．
3．在△ABC 中，已知 C＝，b＝4，△ABC 的面积为 2，则 c＝(　　)
A．2 B．
C．2 D．2
解析：选D．由 S＝absin C＝2a×＝2，解得 a＝2，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos
C＝12，故c＝2.
4．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC 中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，其中 b2
＝ac，且 sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：选C．由 sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以 b＝a，所以 c＝2a，
所以 A为△ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选 C．
5．(多选)(2021·预测)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC 中，若 A>B，则 sin A>sin B
B．在锐角三角形 ABC 中，不等式 sin A>cos B恒成立
C．在△ABC 中，若 acos A＝bcos B，则△ABC 必是等腰直角三角形
D．在△ABC 中，若 B＝60°，b2＝ac，则△ABC 必是等边三角形
解析：选ABD ． 对 于 A，在△ABC 中，由正弦定理可得＝，所 以 sin A>sin
B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于 B，在锐角三角形 ABC 中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－
B>0，所以 sin A>sin＝cos B，故B正确；对于 C，在△ABC 中，由acos A＝bcos B，利用正
弦定理可得 sin 2A＝sin 2B，得到 2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC 是等
腰三角形或直角三角形，故C错误；对于 D，在△ABC 中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定
理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以 ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得 a＝c.又B＝
1
60°，所以△ABC 必是等边三角形，故D正确．故选 ABD．
6．在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 acos B－c－＝0，a2＝
bc，b>c，则＝________．
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得
sin AcosB－sin C－＝0.因为 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos
A·sin B＝0，所以 cos A＝－，即A＝.由余弦定理得 a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝
0，又b>c，所以＝2.
答案：2
7．(2020·河南期末改编)在△ABC 中，B＝，AC＝，且 cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin
C，则 C＝________，BC＝________．
解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得 1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sin
Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sin Bsin
C．结合正弦定理得 BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以 cos A＝，A＝，则C＝π－A－B
＝.由＝，解得 BC＝.
答案：　
8．(2020·兰州模拟)已知在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 asin B＋
bcos A＝0.
(1)求角 A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边 c的长．
解：(1)因为 asin B＋bcos A＝0，
所以 sin Asin B＋sin Bcos A＝0，
即sin B(sin A＋cos A)＝0，
由于 B为三角形的内角，
所以 sin A＋cos A＝0，
所以 sin＝0，而A为三角形的内角，
所以 A＝.
(2)在△ABC 中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得 c＝－4(舍去)或c＝2.
9．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且
acos C＝(2b－c)cos A
．
(1)求角 A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，
从而 sin(A＋C)＝2sin Bcos A，
即sin B＝2sin Bcos A
．
又B为三角形的内角，所以 sin B≠0，于是 cos A＝，
2
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