新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第6讲　二项分布及其应用

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第6讲　二项分布及其应用
一、知识梳理
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝为在事件 A发生的条件下，事件 B发生
的条件概率．
(2)性质
① 条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P ( B | A ) ＋P ( C | A ) _．
2．事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果 P(AB)＝P ( A ) P ( B ) ，则称事件 A与事件 B相互独立．
(2)性质：
① 若事件 A与B相互独立，则 P(B|A)＝P ( B ) ，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P ( A ) P ( B ) ．
② 如果事件 A与B相互独立，那么 A
与 B ，A 与
B ，A 与 B 也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
定义 在相同条件下重复做的 n次试
验称为 n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的
次数，设每次试验中事件 A发生的概率是 p，此
时称随机变量 X服从二项分布，记作 X～
B(n，p)，并称 p为成功概率
计算
公式
用Ai(i＝1，2，…，n)表示第 i
次试验结果，则 P(A1A2A3…An)
＝P(A1)P(A2)…P(An)
在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的
概率为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，
…，n)
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，
超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．两个概率公式
(1)在事件 B发生的条件下 A发生的概率为 P(A|B)＝.注意其与 P(B|A)的不同．
(2)若事件 A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
二、教材衍化
1．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间
内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 AB＋AB，
1
所以 P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
答案：0.38
2．已知盒中装有 3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个
红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的
概率为________．
解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，
则P(AB)＝×，P(A)＝，
所以 P(B|A)＝＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　)
(2)相互独立事件就是互斥事件．(　　)
(3)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中 a＝
p，b＝1－p.(　　)
(5)P(B|A)表示在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率，P(AB)表示事件 A，B同时
发生的概率．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)条件概率公式套用错误；
(2)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；
(3)独立重复试验公式应用错误．
1．由 0，1组成的三位数编号中，若事件 A表示“第二位数字为 0”，事件 B表示
“第一位数字为 0”，则 P(A|B)＝________．
解析：因为第一位数字可为 0或1，所以第一位数字为 0的概率 P(B)＝，第一位数字
为0且第二位数字也为 0，即事件 A，B同时发生的概率 P(AB)＝×＝，所以 P(A|B)＝＝＝.
答案：
2．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合
格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论
考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否
合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后 ，恰有一人获得“合格证
书”的概率为________．
2
解析：甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，两人
中恰有一个人获得“合格证书”的概率是×＋×＝.
答案：
3．设随机变量 X～B，则 P(X＝3)＝________．
解析：因为 X～B，所以 P(X＝3)＝C×＝.
答案：
考点一　条件概率(基础型)
在具体情境中，了解条件概率的概率．
核心素养：数学建模
(1)(一题多解)现有 3道理科题和 2道文科题共 5道题，若不放回地依次抽取 2道
题，则在第 1次抽到理科题的条件下，第 2次抽到理科题的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)从1，2，3，4，5中任取 2个不同的数，事件 A＝“取到的 2个数之和为偶数”，
事件 B＝“取到的 2个数均为偶数”，则 P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)法一：设第 1次抽到理科题为事件 A，第2次抽到理科题为事件 B，P(B|
A)＝＝＝.故选 C．
法二：在第 1次抽到理科题的条件下，还有 2道理科题和 2道文科题，故在第 1次抽
到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选 C．
(2)P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
【答案】　(1)C　(2)B
【迁移探究】　(变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求 P(B|A)．
解：事件 A：“取到的 2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，
(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以 P(A)＝.事件 B：“取到的 2个数均为偶数”
所包含的基本事件有(2，4)，所以 P(AB)＝，
所以 P(B|A)＝＝＝.
条件概率的两种求解方法
　
3
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