新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　指数与指数函数

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第5讲　指数与指数函数

一、知识梳理

1．根式

(1)根式的概念

①若x n

＝ a ，则 x叫做 a的n次方根，其中 n>1 且n∈N*.式子叫做根式，这里 n

叫做根

指数，a

叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*，且 n>1)．

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

① 正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；

② 负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；

③0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝a r

＋

(a>0，r，s∈Q)；

②＝a r

－

(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝a rs

(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝a r

b r

(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax (a>0 且a≠1) a>1 0<a<1

图象

定义域 R

值域 (0 ，＋ ∞ )

性质

过定点(0 ， 1 )

当x>0 时，y>1；

当x<0 时，0<y<1

当x>0 时，0<y<1；

当x<0 时，y>1

在R上是增函数在 R上是减函数

常用结论

1．指数函数图象的画法

画指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数 a，b，c，d与1

之间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝

ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟 a的取值有关，要特别注意应分 a>1

与0<a<1 来研究．

二、教材衍化

1．化简(1)aaa－＝________．

(2)2x－＝________．

答案：(1)a　(2)1－4x－1

2．函数 y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．

解析：作出 y＝2x与y＝2－x＝的图象(图略)，观察可知其关于 y轴对称．

答案：y轴

3．已知函数 f(x)＝ax－2＋2(a>0 且a≠1)的图象恒过定点 A，则 A的坐标为________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．

答案：(2，3)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.(　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(3)函数 y＝a－x是R上的增函数．(　　)

(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数 y＝2x－1是指数函数．(　　)

(6)若am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

二、易错纠偏

常见误区(1)忽略 n的范围导致式子(a∈R)化简出错；

(2)不理解指数函数的概念出错；

(3)忽视底数 a的范围出错．

1．化简(x<0，y<0)得(　　)

A．2x2y　

B．2xy

C．4x2y

D．－2x2y

解析：选D．因为 x<0，y<0，

所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.

2．若函数 f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则 a＝________．

解析：由题意知即 a＝2.

答案：2

3．若函数 f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为 2，则 a＝________．

解析：当a>1 时，a＝2；当 0<a<1 时a－1＝2，

即a＝.

答案：2或

考点一　指数幂的化简与求值(基础型)

理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

核心素养：数学运算

1．计算：－＋＋(0.002) ＝________．

解析：原式＝－＋＋

＝－＋＋10＝10.

答案：10

2．化简 4a·b÷的结果为________．

解析：原式＝4÷a

＝－6ab－1＝－.

答案：－

3．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．

解析：原式＝＋＋－3＋

＝＋100＋－3＋＝100.

答案：100

4．已知 x＋x＝3，则 x2＋x－2＋3＝________．

解析：由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以 x＋x－1＝7，所以 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2

＋x－2＝47，所以 x2＋x－2＋3＝50.

答案：50

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