新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　数列的综合应用

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第5讲　数列的综合应用
考点一　等差、等比数列的综合(综合型)
求解此类问题应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程
中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且 a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【解】　(1)设{an}的公差为 d.
因为 a2＋a3＝5ln 2，
所以 2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以 d＝ln 2.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为 ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首项为 2，公比为 2的等比数列．
所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需
要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则
要看其是否有等于 1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表
示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒]　在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要
注意结论的整合．　
　(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前 n项和，已知 a2＝
3，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：{an＋1}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式，并判断 n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．
解：(1)证明：因为 a2＝3，a2＝2a1＋1，所以 a1＝1，
因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以 an＝2n－1，
所以 Sn＝－n＝2n＋1－n－2，
1
所以 n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，
所以 n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．
考点二　数列与数学文化(应用型)
解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背
景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模
型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、
项数、通项公式或前 n项和等．
(1)(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、
马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”
今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主
人要求赔偿 5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的
马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗
为10 升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
(2)(2020·北京市石景山区 3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，
它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一
得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用 an表示解下 n(n≤9，n∈N*)个圆
环所需的最少移动次数，数列{an}满足 a1＝1，且 an＝则解下 4个环所需的最少移动次数 a4
为(　　)
A．7 B．10
C．12 D．22
【解析】　(1)5 斗＝50 升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为 a1，a2，a3，由
题意可知 a1，a2，a3构成公比为 2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得 a1＝，所以马主
人应偿还粟的量为 a2＝2a1＝，故选 D．
(2)因为数列{an}满足 a1＝1，且an＝所以 a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以 a3＝2a2＋2＝2×1
＋2＝4，所以 a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.故选 A．
【答案】　(1)D　(2)A
数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数
列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言
表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实
际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．　
1．(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长
五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长 5尺，头部
2
1尺，重 4斤，尾部 1尺，重 2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该
金箠共重为(　　)
A．6斤　　　　　　　 B．7斤
C．9斤 D．15 斤
解析：选D．设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}，
则有 a1＝4，a5＝2，
所以 a1＋a5＝6，
数列{an}的前 5项和为 S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重 15 斤．故选 D．
2．1979 年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，
怎么也不能分成 5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里 1只猴子偷偷爬起来，先
吃掉一个桃子，然后将其分成 5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第 2只猴子又爬起来，
将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成 5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只
猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？
解：假如我们设最初有 a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为 a2，a3，a4，a5，a6，
得到一个数列{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－(an－1)－1，
即an＋1＝(an－1)，
整理变形，得an＋1＋4＝(an＋4)．
故{an＋4}是以为公比的等比数列，
所以 a6＋4＝(a1＋4)，
欲使(a6＋4)∈N*，应有 a1＋4＝55m(m∈N*)，
故最初至少有桃子 a1＝55－4＝3 121 个，从而最后至少剩下 a6＝45－4＝1 020 个．
考点三　数列与其他知识的交汇(综合型)
数列常与函数、不等式及三角函数等知识交汇，求解关键是把其他知识巧妙转化为数
列问题，再利用数列公式进行求解．
(2020·安徽安庆 4月联考)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且 a2，a4，a8成等比数列，bn＝，求数
列{bn}的前 n项和 Sn.
【解】　(1)由＝，
根据正弦定理可得＝，即b2＋c2－a2＝bc，
所以 cos A＝＝，
由0＜A＜π，得A＝.
(2)由(1)知，A＝，
设数列{an}的公差为 d(d≠0)，因为 a1sin A＝1，
所以 a1sin＝a1＝1，解得 a1＝2.
3
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