新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　空间向量及其运算

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第5讲　空间向量及其运算
一、知识梳理
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实
数λ，使得 a ＝ λ b ．
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b ．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在
有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作OA＝a，OB＝
b，则∠ AOB
叫做向量 a与b的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．通常规定 0≤〈a，b〉≤π．若
〈a，b〉＝，则称向量 a，b互相垂直，记作 a⊥b.
(2)两向量的数量积
两个非零向量 a，b的数量积 a·b＝| a || b | cos 〈 a ， b 〉 ．
(3)向量的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中 e为单位向量)；
②a⊥b⇔a · b ＝ 0 ；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c (分配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3，
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝＝ .
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则AB＝OB－OA＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1， z 2－ z 1)．
4．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线 l上任意两点，则称AB为直线 l的
1
方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线 l的方向向量，显然一条直线的方向向量可
以有无数个．
(2)平面的法向量
① 定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任
意两个都是共线向量．
② 确定：设 a，b是平面 α内两不共线向量，n为平面 α的法向量，则求法向量的方程
组为
5．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2
l1∥l2n1∥n2⇔n1＝ λ n 2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0
直线 l的方向向量为 n，平面 α的法向量为 m
l∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0
l⊥αn∥m⇔n＝λm
平面 α，β的法向量分别为 n，m
α∥βn∥m⇔n＝λm
α⊥βn⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．向量三点共线定理
在平面中 A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O为平面
内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中 P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋y＋z＝
1)，O为空间任意一点．
二、教材衍化
1．如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝
a，AD＝b，AA1＝c，则BM＝________(用a，b，c表示)．
解析：BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
2．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
解析：|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋
2×1×cos 120°)＝2，
所以|EF|＝，所以 EF 的长为.
答案：
3.在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形 ABCD 的中心，M是D1D的中点，N
2
是A1B1的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是________．
解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标
系，设DA＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM＝(－
2，0，1)，ON＝(1，0，2)，AM·ON＝－2＋0＋2＝0，所以 AM⊥ON.
答案：垂直
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量 a，b共面．(　　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(3)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c.(　　)
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)
(6)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、易错纠偏
(1)忽视向量共线与共面的区别；
(2)使用数量积公式出错．
1． 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A(1 ，2，3) ，B(－2， －
1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线 AB 与CD 的位置关系是(　　)
A．垂直　　　　　　　　 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
解析：选B．由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，
所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线，
又AB 与CD 没有公共点，所以 AB∥CD.
2．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP ＝OA ＋OB ＋t OC ， 若
P，A，B，C四点共面，则实数 t＝________．
解析：因为 P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，所以 t＝.
答案：
考点一　空间向量的线性运算(基础型)
了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3
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