新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　高效演练分层突破(3)

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[基础题组练]
1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a3＋4S2＝0，则公比 q＝(
)
A．－1　　　　　　　　　 B．1
C．－2 D．2
解析：选C．法一：因为 a3＋4S2＝0，所以 a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为 a1≠0，所以 q2＋
4q＋4＝0，所以 q＝－2，故选 C．
法二：因为 a3＋4S2＝0，所以 a2q＋＋4a2＝0，因为 a2≠0，所以 q＋＋4＝0，即(q＋2)2
＝0，所以 q＝－2，故选 C．
2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，
其前 n项和为 Sn，且 b7＝a7，则 S13＝(　　)
A．26 B．52
C．78 D．104
解析：选B．设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3a11＝4a7，所以 a＝4a7≠0，解得 a7＝
4，
因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，
所以 S13＝＝13b7＝13a7＝52.故选 B．
3．(2020·吉林长春 5月联考)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，公差 d＞0，a6和a8是
函数 f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则 S8＝(　　)
A．－38 B．38
C．－17 D．17
解析：选A．因为 f(x)＝ln x＋x2－8x，所以 f′(x)＝＋x－8＝＝，
令f′(x)＝0，解得 x＝或 x＝.
又a6和a8是函数 f(x)的极值点，且公差 d＞0，
所以 a6＝，a8＝，所以解得
所以 S8＝8a1＋×d＝－38，故选 A．
4．(多选)(应用型)一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高
度的再落下．设它第 n次着地时，经过的总路程记为 Sn，则当 n≥2时，下面说法正确的是
(　　)
A．Sn＜500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为 400
解析：选 AC．第一次着地时，共经过了 100 m，第二次着地时，共经过了 m，第三次
着地时，共经过了 m，…，以此类推，第n次着地时，共经过了 m．所以 Sn＝100＋＝100
＋400.则Sn是关于 n的增函数，所以当 n≥2时，Sn的最小值为 S2，且S2＝.又Sn＝100＋400
1
＜100＋400＝500.故选 AC．
5．(创新型)(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子
数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即 F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n
－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被 2除
后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前 2 019 项的和为(　　)
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
解析：选C．由于{an}是数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以 2的
余数，
故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
所以{an}是周期为 3的周期数列，
且一个周期中的三项之和为 1＋1＋0＝2.
因为 2 019＝673×3，
所以数列{an}的前 2 019 项的和为 673×2＝1 346.故选 C．
6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则 a5＝
________，Sn的最小值为__________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，因为即所以可得所以 a5＝a1＋4d＝0，因为 Sn＝na1
＋d＝(n2－9n)，所以当 n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
答案：0　－10
7．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，
且b1＋b2＋b3＝1，则 b6＋b7＋b8＝________．
解析：由－＝0可得 an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，
则{bn}是公比为 2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.
答案：32
8．(2020·湖南岳阳一模)曲线 y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线斜率为 an，则数列的前
n项的和为________．
解析：对y＝x＋ln x(n∈N*)求导，可得 y′＝＋，由曲线 y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切
线斜率为 an，可得 an＝＋＝n.所以＝＝－，则数列的前 n项的和为 1－＋－＋…＋－＝.
答案：
9．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前 n项和 Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，
且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式 an；
(2)记bn＝，Tn为{bn}的前 n项和，求使 Tn≥成立的 n的最小值．
解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列{}为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即
Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
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