新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　高效演练分层突破(2)

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[基础题组练]
1．已知 a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若 a，b，c三向量共面，则
λ＝(　　)
A．9 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B．由题意知 c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以
解得 λ＝－9.
2．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有(　　)
A．已知 A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0
B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向
量
D．对于空间的任意一点 O和不共线的三点 A，B，C，若OP ＝xOA ＋yOB ＋
zOC(x，y，z∈R)，则 P，A，B，C四点共面
解析：选 ACD．对于 A，已知 A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝
0，错误；对于 B，若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD，正确；对于
C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，
不正确；对于 D，对于空间的任意一点 O和不共线的三点 A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋
zOC(x，y，z∈R)，仅当 x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．
3．在空间四边形 ABCD 中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：选B．如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
4.如图，在大小为 45°的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是边长为 1
的正方形，则 B，D两点间的距离是(　　)
1
A． B．
C．1 D．
解析：选D．因为BD＝BF＋FE＋ED，所以|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋
2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，所以|BD|＝.
5．已知 A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为 120°，
则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
解析：选 C．OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验 λ＝不合题意，
舍去，所以 λ＝－.
6.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O为AC 的中点．用AB，AD，AA1表示
OC1，则OC1＝________．
解析：因为OC＝AC＝(AB＋AD)，
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.
答案：AB＋AD＋AA1
7.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N分别是 CD，PC 的中点，并且 PA＝
AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则 MN＝________．
解析：连接 PD，因为 M，N分别为 CD，PC 的中点，所以 MN＝PD，
又P(0，0，1)，D(0，1，0)，
所以 PD＝＝，
所以 MN＝.
答案：
8. 如 图 所 示 ， 已 知 空 间 四 边 形 OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝ ∠ AOC ＝ ， 则
cos〈OA，BC〉的值为________．
2
解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
所以OA⊥BC，
所以 cos〈OA，BC〉＝0.
答案：0
9.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C和平面 AA1B1B都是正方形且互
相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．
求证：(1)MN∥平面 A1B1C1；
(2)平面 MBC1⊥平面 BB1C1C；
证明：由题意知，AA1，AB，AC 两两垂直，则以 A为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系．
设AA1＝2，则
A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2)，C1(2，0，2)，M(1，0
，0)，N(1，1，1)．
(1)因为 AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，
且A1B1∩A1C1＝A1，
所以 AA1⊥平面 A1B1C1.
因为MN＝(0，1，1)，AA1＝(2，0，0)，
所以MN·AA1＝0，即MN⊥AA1.
因为 MN⊄平面 A1B1C1，
故MN∥平面 A1B1C1.
3
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