新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　第2课时　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．直线 y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则 m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
解析：选B．由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0得m＞1且m≠3.
2．设直线 y＝kx 与椭圆＋＝1相交于 A，B两点，分别过 A，B两点向 x轴作垂线，若
垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k等于(　　)
A．± B．±
C．± D．±2
解析：选A．由题意可知，点A与点 B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k＞0
时，不妨设 A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得 y1＝－，y2＝，解
得k＝；同理可得当 k＜0时k＝－.
3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A，B两点，O为坐标原
点，则△OAB 的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意知椭圆的右焦点 F的坐标为(1，0)，则直线 AB 的方程为 y＝2x－2.
联立解得交点 A(0，－2)，B，所以 S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选 B．
4．已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)与直线 y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，
则椭圆 C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选B．将直线方程 y＝x＋3代入 C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝
0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得 a2＋b2＝
9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得 a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
5．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点 F，与椭圆交
于A，B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－
b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
又AF＝2FB，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以 e＝，故
选B．
6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为 A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，
1
则椭圆方程为________．
解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为 A(1，0)，所以 b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦
点且垂直于长轴的弦长为 1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．已知椭圆＋y2＝1与直线 y＝x＋m交于 A，B两点，且|AB|＝，则实数 m的值为____
____．
解析：由消去 y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
－，x1x2＝.由题意，得＝，
解得 m＝±1.
答案：±1
8．已知直线 l：y＝k(x－1)与椭圆 C：＋y2＝1交于不同的两点 A，B，AB 中点横坐标
为，则 k＝________．　
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线 l过椭圆内
的定点(1，0)，所以 Δ＞0，x1＋x2＝，所以＝＝，即k2＝，所以 k＝±.
答案：±
9．设 F1，F2分别是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且 MF2与x
轴垂直，直线 MF1与C的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为，求 C的离心率；
(2)若直线 MN 在y轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.
解：(1)根据 c＝及题设知 M，＝，
2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入 2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故 C的离心率为.
(2)由题意，原点 O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线 MF1与y轴的交点 D(0，2)是
线段 MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知 y1＜0，则
即
代入 C的方程，得＋＝1.②
将①及 c＝代入②得＋＝1.
解得 a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
10．已知椭圆 C的两个焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点 E.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过F1的直线 l与椭圆 C交于 A，B两点(点A位于 x轴上方)，若AF1＝2F1B，求直线
l的斜率 k的值．
2
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