新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　第1课时　椭圆及其性质

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第5讲　椭　圆
一、知识梳理
1．椭圆的定义
条件 结论 1结论 2
平面内的动点 M与平面内的两个定点
F1，F2M点的轨迹为椭圆 F1、 F 2
为椭圆的焦点
| F 1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
[注意]　若 2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段 F1F2；若 2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：x
轴、 y
轴
对称中心：(0，0)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长轴 A1A2的长为 2 a
短轴 B1B2的长为 2 b
焦距 |F1F2|＝2 c
离心率 e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a 2
－ b 2
3.点与椭圆的位置关系
已知点 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.
常用结论
椭圆的常用性质
(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c.
1
(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.
(3)已知过焦点 F1的弦 AB，则△ABF2的周长为 4a.
(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中 A，B关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存
在且不为 0，则直线 PA 与PB 的斜率之积为定值－.
(5)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|
PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时，即点 P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为
bc.
二、教材衍化
1．椭圆 16x2＋25y2＝400 的长轴的长________，离心率________．
答案：10　
2．已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1，0)，离心率等于，则 C的方程是______
__．
答案：＋＝1
3．椭圆 C：＋＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 C于A、B两点，
则△F1AB 的周长为________，△AF1F2的周长为________．
答案：20　16
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆的离心率 e越大，椭圆就越圆．(　　)
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在 y轴上的椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．
1．平面内一点 M到两定点 F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于 18，则点 M的轨迹是
________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点 M的
轨迹是一条线段．
答案：线段 F1F2
2．已知椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方程为____
____．
2
答案：＋＝1或＋＝1
第1课时　椭圆及其性质
考点一　椭圆的定义及应用(基础型)
了解圆锥曲线的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．
核心素养：数学抽象
(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆 C：＋y2＝1的左焦点为 F，直线 l：y＝
kx(k≠0)与椭圆 C交于 A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)(2020·徐州模拟)已知 F1、F2是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆 C上
的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为 9，则 b＝________．
【解析】　(1)设椭圆的右焦点为 F1，连接 AF1，BF1，
因为 OA＝OB，OF＝OF1，
所以四边形 AFBF1是平行四边形．
所以|BF|＝|AF1|，
所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选 C．
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则
所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以 S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以 b＝3.
【答案】　(1)C　(2)3
【迁移探究】　(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为 18”，其他条件不变，
求该椭圆的方程．
解：由原题得 b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以 a－c＝1，解得 a＝5，故椭圆的方
程为＋＝1.
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；
二是当 P在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利
用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．　
1．已知椭圆＋＝1上一点 P到椭圆一个焦点 F1的距离为 3，则 P到另一个焦点 F2的距
离为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
3
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