新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　第1课时　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．已知正数 m是2和8的等比中项，则圆锥曲线 x2＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0)
解析：选B．因为正数 m是2和8的等比中项，所以 m2＝16，即m＝4，所以椭圆 x2＋
＝1的焦点坐标为(0，±)，故选 B．
2．(2019·高考北京卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B．由题意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以 4b2＝3a2.故选
B．
3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜144)的(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D．曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以 c＝5，所以两曲线的焦距
相等．
4．(2020·郑州模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率
为，过 F2的直线 l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为 12，则 C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D．由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长
为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝＝，所以 c＝2，所
以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C的方程为＋＝1，故选 D．
5．(2020·昆明市诊断测试)已知 F1，F2为椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B为
C的短轴的一个端点，直线 BF1与C的另一个交点为 A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(
)
A． B．
C． D．3
解析：选A．如图，不妨设点 B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|
＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以
＝.故选 A．
1
6．若椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意可得 b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，
故椭圆的离心率 e＝＝.
答案：
7．(2020·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为 4，则椭圆的标准方
程为________．
解析：由题意可知 e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·浙江台州月考改编)已知 P为椭圆＋＝1上一个动点，直线 l过圆(x－1)2＋y2＝
1的圆心与圆相交于 A，B两点，则PA·PB的最大值为________，最小值为________．
解析：由(x－1)2＋y2＝1可得圆心 O1(1，0)，由＋＝1得椭圆右焦点的坐标为(1，0)．
因为PA·PB＝(PO1＋O1A)·(PO1＋O1B)＝(PO1＋O1A)·(PO1－O1A)＝－O1A2＝|PO1|2－
1.因为 3－1≤|PO1|≤3＋1，所以 3≤|PO1|2－1≤15，所以PA·PB的最大值为 15，最小值为
3.
答案：15　3
9．已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
依题意得因此 a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以 S＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；
(2)已知点 P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P到两焦点的距离分别为 5，3，过 P且
与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，
－)，所以 t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
2
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