新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　直线、平面垂直的判定与性质

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第4讲　直线、平面垂直的判定与性质

一、知识梳理

1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定

定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线

都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α

性质

定理垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定

定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两

个平面垂直 ⇒α⊥β

性质

定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交

线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α

3.空间角

(1)直线与平面所成的角

① 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面

所成的角，如图，∠ PAO

就是斜线 AP 与平面 α所成的角．

② 线面角 θ的范围：θ∈．

(2)二面角

① 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面

角的棱．两个半平面叫做二面角的面．

如图的二面角，可记作：二面角 α l β

或二面角 P AB Q ．

② 二面角的平面角

如图，过二面角 αlβ 的棱 l上一点 O在两个半平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则∠ AOB

就叫做二面角 αlβ 的平面角．

③ 二面角的范围

设二面角的平面角为 θ，则 θ∈[0 ， π] ．

④当θ＝时，二面角叫做直二面角．

常用结论

1．与线面垂直相关的两个常用结论：

(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．

(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．

2．三种垂直关系的转化：

线线垂直((((线面垂直((((面面垂直

二、教材衍化

1．已知互相垂直的平面 α，β交于直线 l.若直线 m，n满足 m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥l　　　　　 B．m∥n

C．n⊥l D．m⊥n

解析：选C．由题意知，α∩β＝l，所以 l⊂β，因为 n⊥β，所以 n⊥l.

2．在三棱锥 PABC 中，点 P在平面 ABC 中的射影为点 O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点 O是△ABC 的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O是△ABC 的________心．

解析： (1)如图，连接 OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB 和Rt△POC 中，PA

＝PB＝PC，所以 OA＝OB＝OC，即O为△ABC 的外心．

(2) 如图，延长 AO ，BO ，CO 分别交 BC ，AC ，AB 于点 H，D，G.因为

PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

所以 PC⊥平面 PAB，又AB⊂平面 PAB，所以 PC⊥AB，因为 AB⊥PO，PO∩PC＝P，

所以 AB⊥平面 PGC，又CG⊂平面 PGC，所以 AB⊥CG，即CG 为△ABC 边AB 上的高．同

理可证 BD，AH 分别为△ABC 边AC，BC 上的高，即O为△ABC 的垂心．

答案：(1)外　(2)垂

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c.(　　)

(2)直线 l与平面 α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.(　　)

(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α.(　　)

(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)

(5)若平面 α内的一条直线垂直于平面 β内的无数条直线，则 α⊥β.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、易错纠偏

(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；

(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直．

1．(2020·安徽江南十校联考)已知 m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平

面，下面给出的条件中一定能推出 m⊥β的是(　　)

A．α⊥β且m⊂α B．m⊥n且n∥β

C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β

解析：选C．由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C正确．

2．(2020·辽宁大连第一次(3 月)双基测试)已知直线 l和平面 α，β，且 l⊂α，则“l⊥β”

是“α⊥β”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；

若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，必要性不成立，

所以若 l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选 A．

考点一　线面垂直的判定与性质(基础型)

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的有关

性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论．

核心素养：逻辑推理、直观想象

(1)(2018·高考全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝

PC＝AC＝4，O为AC 的中点．证明：PO⊥平面 ABC.

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