新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　随机事件的概率与古典概型

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第4讲　随机事件的概率与古典概型
一、知识梳理
1．概率与频率
(1)在相同的条件 S下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验中事件 A
出现的次数 nA为事件 A出现的频数，称事件 A出现的比例 fn(A)＝为事件 A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概
率P(A)，因此可以用频率
f
n( A ) 来估计概率 P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件 A发生，则事件 B一定发生，这时称事件 B包
含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)
B ⊇ A
(或A ⊆ B )
相等关系 若B⊇A且A ⊇ B ，那么称事件 A与事件 B相等 A ＝ B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件
A
发生或事件
B
发生 ，则称
此事件为事件 A与事件 B的并事件(或和事件)
A ∪ B
(或A ＋ B )
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件
A
发生且事件
B
发生 ，则称
此事件为事件 A与事件 B的交事件(或积事件)
A ∩ B
(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件 A与事件 B互斥 A∩B＝∅
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件
A与事件 B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
3.古典概型
(1)基本事件的特点
① 任何两个基本事件是互斥的；
② 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)特点
① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
② 每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(3)概率公式
P(A)＝．
4．对古典概型的理解
(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性
和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决
概率问题的关键．
(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
1
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件 A与事件 B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件 A与事件 B互为对立事件，则A∪B为必然事件． P(A∪B)＝1，P(A)＝1－
P(B)．
二、教材衍化
1．袋中装有 3个白球，4个黑球，从中任取 3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
② 至少有 1个白球和全是黑球；
③ 至少有 1个白球和至少有 2个白球；
④ 至少有 1个白球和至少有 1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为________．
答案：①
2．容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 234542
则样本数据落在区间[10，40)的频率为________．
答案：0.45
3．袋中装有 6个白球， 5 个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为___
_____．
解析：从袋中任取一球，有15 种取法，其中取到白球的取法有 6种，则所求概率为 P
＝＝.
答案：
4．已知 5件产品中有 2件次品，其余为合格品．现从这 5件产品中任取 2件，恰有一
件次品的概率为________．
解析：从5件产品中任取 2件共有 C＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有 CC＝6(种)，
所以恰有一件次品的概率为＝0.6.
答案：0.6
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　)
2
(5)若A，B为互斥事件，则 P(A)＋P(B)＝1.(　　)
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
(1)确定互斥事件、对立事件出错；
(2)基本事件计数错误．
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为__
______．
解析：由题意得，甲不输的概率为＋＝.
答案：
2．掷一个骰子的试验，事件 A表示“小于 5的偶数点出现”，事件 B表示“小于 5的
点数出现”，则一次试验中，事件 A＋B发生的概率为________．
解析：掷一个骰子的试验有 6种可能结果，依题意 P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以 P(B)＝1
－P(B)＝1－＝，显然 A与B互斥，从而 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
3．已知函数 f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若 a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个
零点的概率为________．
解析：要使函数 f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程 x2－2ax＋b2＝0有两个实根，
则Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有 3×3
＝9(种)，其中满足 a＞b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，
所以所求的概率为＝.
答案：
考点一　随机事件的频率与概率(基础型)
在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意
义以及频率与概率的区别．
核心素养：数学抽象、数据分析
某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交
叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作
物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X之间的关系如表所示：
X1234
3
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