新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　数系的扩充与复数的引入

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第4讲　数系的扩充与复数的引入
一、知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b．
(2)复数的分类
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c
且
b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a ＝ c
且
b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向 量 OZ 的 模 叫 做 复 数 z＝a＋bi的 模 ， 记 作 | z | 或| a ＋ b i| ， 即 |z|＝|a＋bi| ＝r＝
(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量OZ.
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d ) i ；
② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a － c ) ＋ ( b － d ) i ；
③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i ；
④ 除法：＝＝＝＋ i (c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋ z 1，(z1＋z2)
＋z3＝z1＋ ( z 2＋ z 3)．
常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(4)|z|2＝|z|2＝z·z.
二、教材衍化
1．计算＋2i＝______．
答案：i
1
2．复数 z＝(x＋1)＋(x－2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限，则 x的取值范围
为______．
答案：(－1，2)
3．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x的值为________．
解析：因为 z为纯虚数，所以所以 x＝－1.
答案：－1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则 a2≥0.(　　)
(2)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0时，复数 z为纯虚数．(　　)
(3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.(　　)
(4)方程 x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也
能比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)复数相等概念把握不牢固致误；
(2)对复数的几何意义理解有误；
(3)复数的分类把握不准导致出错．
1．若 a为实数，且＝3＋i，则 a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D．由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为 a为实数，所
以a＝4.故选 D．
2．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B
．
若C为线段 AB 的中点，
则点 C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C．因为 A(6，5)，B(－2，3)，所以线段 AB 的中点 C(2，4)，则点 C对应的
复数为 z＝2＋4i.故选 C．
3．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数 m等于______．
解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i 是纯虚数，所以 2－m＝0，且1＋2m≠0，
解得 m＝2.
答案：2
考点一　复数的有关概念(基础型)
2
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
核心素养：数学抽象
1．(2019·高考全国卷Ⅰ )设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
解析：选C．法一：z＝＝＝，
故|z|＝||＝＝.故选 C．
法二：|z|＝||＝＝＝.故选 C．
2．(2020·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数 a的值为(
)
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选C．因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得 a＝，故选 C．
3．(2020·安徽省考试试题)z是z＝的共轭复数，则z的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C．z＝＝＝＝－＋i，则z＝－－i，所以z的虚部为－，故选 C．
4．(2020·山西八校第一次联考)已知 a，b∈R，i为虚数单位，若 3－4i3＝，则 a＋b等
于(　　)
A．－9 B．5
C．13 D．9
解析：选A．由 3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2
－bi，则解得故 a＋b＝－9.故选 A．
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问
题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点二　复数的几何意义(基础型)
了解复数的代数表示法及其几何意义．
核心素养：直观想象
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数 z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(
)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C．通解：因为 z在复平面内对应的点为(x，y)，
3
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