新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．(多选)下列 4个命题错误的是(　　)
A．对立事件一定是互斥事件
B．若 A，B为两个事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件 A，B，C彼此互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件 A，B满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B是对立事件
解析：选BCD．在 A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在 B中，若A，B为
两个互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若A，B不是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
－P(AB)，故B错误；在 C中，若事件 A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)≤1，故C
错误；在 D中，若事件 A，B满足 P(A)＋P(B)＝1，则A，B有可能不是对立事件．
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典
文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，
随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过
《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，
则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5　　　　　　　　　 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：选C．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
3．现有 5人参加抽奖活动，每人依次从装有 5张奖票(其中 3张为中奖票)的箱子中不
放回地随机抽取一张，直到 3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4人抽完结
束的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．将 5张奖票不放回地依次取出共有 A＝120 种不同的取法，若活动恰好在
第四次抽奖结束，则前三次共抽到 2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有 3AAA
＝36 种取法，所以 P＝＝.故选 C．
4．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随
机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆
车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案
二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为 P1，P2，则(　　)
A．P1·P2＝ B．P1＝P2＝
1
C．P1＋P2＝ D．P1＞P2
解析：选ACD．三辆车的出车顺序可能为 123，132，213，231，312，321，共6种．
方案一坐到“3号”车可能为 132，213，231，共3种，所以 P1＝＝；方案二坐到“3号”
车可能为 312，321，共2种，所以 P2＝＝，所以 P1＞P2，P1·P2＝，P1＋P2＝，故选
ACD．
5．(2020·武汉市调研测试)大学生小明与另外 3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙
3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配 1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的
概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．依题意，小明与另外 3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙 3个村小学的
分配方法是 1个学校 2人，另外 2个学校各 1人，共有 CA＝36(种)分配方法，若小明必分
配到甲村小学，有CA＋CA＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概
率为＝，故选 C．
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列
车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率
为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.
答案：0.98
7．连续掷 3枚硬币，观察落地后这 3枚硬币出现正面还是反面．“恰好 3枚正面都朝
上”的概率是________；“至少有 2枚反面朝上”的概率是________．
解析：列举基本事件如下：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，
正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，“恰好 3枚正
面都朝上”包含 1个基本事件，概率 P1＝.“至少有 2枚反面朝上”包含 4个基本事件，概
率P2＝＝.
答案：　
8．已知|p|≤3，|q|≤3，当 p，q∈Z，则方程 x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概
率是________．
解析：由方程 x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得 Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)＞0，
即p2＋q2＞1.
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