新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　高效演练分层突破(5)

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[基础题组练]
1．如图是① y＝xa；② y＝xb；③ y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c的大小关系为(
)
A．c<b<a B．a<b<c
C．b<c<a D．a<c<b
解析：选D．根据幂函数的性质，可知选 D．
2．若函数 f(x)＝x2＋ax＋b的图象与 x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数 f(x)(　　)
A．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1，3]上递增
D．单调性不能确定
解析：选A．由已知可得该函数图象的对称轴为 x＝2，又二次项系数为 1>0，所以 f(x)
在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
3．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2，则 a的值为(　　)
A．－1　　　　 B．0　　　　
C．1　　　　 D．－2
解析：选D．函数 f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线 x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x
＋a在[0，1]上单调递增，则当 x＝0时，f(x)的最小值为 f(0)＝a＝－2.
4．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y＝ax2＋bx
＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线 x＝2对称．根据现有信
息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在 x轴上截得的线段的长度是 2
B．与 y轴交于点(0，3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3，0)
解析：选ABD．由已知得解得 b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为 y＝a(x2－4x＋3)，其
顶点的横坐标为 2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选 ABD．
5．(多选)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数 t都有 f(4＋t)＝f(－t)成立，则函
数值 f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)
A．f(－1)　　　 B．f(1)　　　
C．f(2)　　　 D．f(5)
1
解析：选ACD．因为对任意实数 t都有 f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数 f(x)＝ax2＋bx＋
c(a≠0)的对称轴是 x＝2，当a>0 时，函数值 f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(2)；当
a<0 时，函数值 f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(－1)和f(5)．
6．已知二次函数的图象与 x轴只有一个交点，对称轴为 x＝3，与 y轴交于点(0，3)．
则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为 y＝a(x－3)2，又图象与 y轴交于点(0，3)，
所以 3＝9a，即a＝.
所以 y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
答案：y＝x2－2x＋3
7．(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在
x∈(0，＋∞)上递减，则实数 m＝________．
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得 m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以 m＝2.
答案：2
8．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若对于 x∈R，f(x)<0 恒成立，则实数 m的取值范围是__
__________．
解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0，符合题意．当 m≠0时，f(x)为二次函数，则由 f(x)<0
恒成立得即解得－4<m<0.
故实数 m的取值范围是(－4，0]．
答案：(－4，0]
9．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝－1时，求函数 f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数 a的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
所以当 x＝1时，f(x)取得最小值 1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值 37.
(2)函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线 x＝－a，
因为 y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数 a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，
＋∞)．
10．若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
2
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