新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　高效演练分层突破(2)

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[基础题组练]
1．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B．圆 O1的圆心坐标为(1，0)，半径长 r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半
径长 r2＝2，所以两圆的圆心距 d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有 r2－r1＜d＜r1＋r2，所以
两圆相交．
2．(2020·陕西榆林二校联考)圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直线 x＋y－3＝0所得弦长为
2，则实数 a等于(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D．由题知，圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圆心为(－2，1)，
半径为，又圆心到直线的距离为＝2，所以 2＝2，解得 a＝－4.
3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线 x
－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B．直线 x－by＋2b＋1＝0过定点 P(－1，2)，如图．所以圆与直线 x－by＋
2b＋1＝0相切于点 P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径 r为，此时圆的标
准方程为 x2＋(y－1)2＝2.故选 B．
4．圆 x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线 x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离 d＝＝，
半径是 2，结合图形可知有 3个符合条件的点．
5．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C经过点(0，1)，(0，3)，且与
x轴正半轴相切，若圆 C上存在点 M，使得直线 OM 与直线 y＝kx(k＞0)关于 y轴对称，则 k
的最小值为(　　)
A． B．
C．2 D．4
1
解析：选D．由圆 C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为＝2，
又圆 C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为 2，
则圆心的横坐标 x＝＝，
即圆心为(，2)，
所以圆 C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4.
因为 k＞0，所以 k取最小值时，直线 y＝－kx 与圆相切，
可得 2＝，
即k2－4k＝0，解得 k＝4(k＝0舍去)，故选 D．
6．圆 x2＋y2－4x＝0在点 P(1，)处的切线方程为________．
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为 2，点P在圆上，设切线
方程为 y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以＝2，
解得 k＝.所以切线方程为 y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
7．已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点
A(－4，a)作圆 C的一条切线，切点为 B，则|AB|＝________．
解析：由于直线 x＋ay－1＝0是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心
C(2，1)在直线 x＋ay－1＝0上，所以 2＋a－1＝0，所以 a＝－1，所以 A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：6
8．P在直线 l：x＋y＝2上，过 P作圆 x2＋y2＝1的切线，切点分别为 A，B，O为坐标
原点，则四边形 OAPB 面积的最小值为________．
解析：连接 OP，OA，OB，
则S四边形 OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·＝.
而|OP|的最小值为|OP|min＝＝，
所以(S四边形 OAPB)min＝1.
答案：1
9．已知圆 C经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1相切，且圆心在直线 y＝－2x上．
(1)求圆 C的方程；
(2)已知直线 l经过原点，并且被圆 C截得的弦长为 2，求直线 l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)，
则＝，化简，
2
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