新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　高效演练分层突破(1)

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[基础题组练]
1．设 α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　　)
A．若 a∥α，b∥α，则 a∥b B．若 a⊥α，a∥b，则 b⊥α
C．若 a⊥α，a⊥b，则 b∥α D．若 a∥α，a⊥b，则 b⊥α
解析：选B．若 a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知 B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若 a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，或b与α相
交，故D错误．故选 B．
2．(2020·广州一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中
正确的是(　　)
A．若 α⊥β，m∥α，n∥β，则 m⊥n
B．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β
C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥β
D．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
解析：选B．若 α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
因为 m⊥α，m∥n，所以 n⊥α，
又因为 n∥β，所以 α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，
故D错误．
3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射
影H必在(　　)
A．直线 AB 上
B．直线 BC 上
C．直线 AC 上
D．△ABC 内部
解析：选A．由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面 ABC1.
因为 AC⊂平面 ABC，
所以平面 ABC1⊥平面 ABC.
所以 C1在平面 ABC 上的射影 H必在两平面的交线 AB 上．
4．(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥 V－ABC 中，VO⊥平面 ABC，O∈CD，VA
＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是(　　)
1
A．AC＝BC B．AB⊥VC
C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
解析：选C．因为 VO⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 VO⊥AB.因为 VA＝VB，AD＝
BD，所以 VD⊥AB.又因为 VO∩VD＝V，所以 AB⊥平面 VCD.又因为 CD⊂平面 VCD，所以
AB⊥CD.又因为 AD＝BD，所以 AC＝BC，故A正确．
又因为 VC⊂平面 VCD，所以 AB⊥VC，故B正确；
因为 S△VCD＝VO·CD，S△ABC＝AB·CD，所以 S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条
件无法判断 VC⊥VD.故选 C．
5. (多选)如图，AC＝2R为圆 O的直径，∠PCA＝45°，PA 垂直于圆 O所在的平面，B
为圆周上不与点 A，C重合的点，AS⊥PC 于点 S，AN⊥PB 于点 N，则下列选项正确的是(
)
A．平面 ANS⊥平面 PBC
B．平面 ANS⊥平面 PAB
C．平面 PAB⊥平面 PBC
D．平面 ABC⊥平面 PAC
解析：选 ACD．因为 PA⊥平面 ABC，PA⊂平面 PAC，所以平面 ABC⊥平面 PAC，故
D正确；因为 B为圆周上不与 A，C重合的点，AC 为直径，所以 BC⊥AB，因为 PA⊥平面
ABC，BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥PA，又AB∩PA＝A，所以 BC⊥平面 PAB，又BC⊂平面
PBC，所以平面 PAB⊥平面 PBC，故C正确；因为 AB⊥BC，BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所
以BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥AN，又因为 AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以 AN⊥平面 PBC，又
AN⊂平面 ANS，所以平面 ANS⊥平面 PBC，故A正确．故选 ACD．
6.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABC，PC＝
4，M是边 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为________．
2
解析：作CH⊥AB 于H，连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC，所以 PH⊥AB，PH 为PM 的最
小值，等于 2.
答案：2
7．(2019·高考北京卷)已知 l，m是平面 α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；② m∥α；③ l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_____
_____．
解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成 3个命题．
命题(1)：若 l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体
ABCDA1B1C1D1中，设平面 ABCD 为平面 α，A1D1和A1B1分别为 l和m，满足条件，但结论
不成立．
命题(2)：若 l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线 m1∥m，且与 l相交，
故l与m1确定一个平面 β，且l⊥m1，因为 l⊥α，所以平面 α与平面 β相交，设α∩β＝n，
则l⊥n，又m1，n⊂β，所以 m1∥n，又m1∥m，所以 m∥n，又m在平面 α外，n⊂α，故
m∥α.
命题(3)：若 m∥α，l⊥α，则l⊥m，此命题正确．证明：过直线 m作一平面，且与平
面α相交，交线为 a，因为 m∥α，所以 m∥a.因为 l⊥α，a⊂α，所以 l⊥a，又m∥a，所以
l⊥m.
答案：②③⇒①或①③⇒②(答案不唯一)
8．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的直线中，
与PC 垂直的直线有__________________；与 AP 垂直的直线有________．
解析：因为 PC⊥平面 ABC，
所以 PC 垂直于直线 AB，BC，AC.
因为 AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
所以 AB⊥平面 PAC，
又因为 AP⊂平面 PAC，
所以 AB⊥AP，与AP 垂直的直线是 AB.
答案：AB，BC，AC　AB
9.如图，在四棱锥 PABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
3
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