新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第3课时　利用导数探究函数的零点问题

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第3课时　利用导数探究函数的零点问题
考点一　判断、证明或讨论函数零点个数(综合型)
(2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．
证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
【证明】　设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.
当x∈时，g′(x)>0；当 x∈时，g′(x)<0，所以 g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g()>0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以 f′(x)在(0，π)存在唯一零点．
判断函数零点个数的 3种方法
直接法 令 f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数
画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数
定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决
　已知 f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.
(1)判断 f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数 F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
解：(1)f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＞0，解得 x＞1，令f′(x)＜0，解得 0＜x＜1，
所以 f(x)在(0，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，
由(1)得∃x1，x2，满足 0＜x1＜1＜x2，
使得 f(x)在(0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，＋∞)上大于 0，
即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，
而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，
F(x)→＋∞，
画出函数 F(x)的草图，如图所示．
故F(x)在(0，＋∞)上的零点有 3个．
1
考点二　已知零点个数求参数范围(综合型)
函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：
(1)求a，b的值并写出 f(x)的单调区间；
(2)若函数 y＝f(x)有三个零点，求 c的取值范围．
【解】　(1)因为 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
所以 f′(x)＝x2＋2ax＋b.
因为 f′(x)＝0的两个根为－1，2，
所以
解得 a＝－，b＝－2，
由导函数的图象可知(图略)，当－1<x<2 时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，
当x<－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增，
故函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，
单调递减区间为(－1，2)．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，
函数 f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，
在(－1，2)上是减函数，
所以函数 f(x)的极大值为 f(－1)＝＋c，
极小值为 f(2)＝c－.
而函数 f(x)恰有三个零点，故必有
解得－<c<.
所以使函数 f(x)恰有三个零点的实数 c的取值范围是.
已知函数(方程)零点的个数求参数范围
(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．
(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．
(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．
　已知函数 f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求实数 a的值，并求此时 f(x)在[－2，1]上的最小值；
(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a的取值范围．
解：(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为 R，
2
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