新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第3课时　高效演练分层突破

3.0 envi 2025-04-11 4 4 90KB 3 页 3知币
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[基础题组练]
1．(2020·江西七校第一次联考)已知函数 y＝f(x)是R上的可导函数，当 x≠0时，有 f′
(x)＋>0，则函数 F(x)＝x·f(x)－的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．函数 F(x)＝xf(x)－的零点，就是方程 xf(x)－＝0的根，即方程 xf(x)＝的根．
令函数 g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．因为当 x>0 时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以 g(x)＝
xf(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0；当 x<0 时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以 g(x)＝xf(x)单调递减，
g(x)>g(0)＝0.所以函数 y＝g(x)与y＝的图象只有一个交点，即F(x)＝xf(x)－只有一个零点．
故选 B．
2．若函数 f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数 a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝＝(a<0)．
当x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0，
所以当 x＝2时，f(x)有极小值 f(2)＝＋1.
若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2)＝＋1>0，
解得 a>－e2，因此－e2<a<0.
答案：(－e2，0)
3．已知函数 f(x)＝a＋ln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)试判断 f(x)的零点个数．
解：(1)函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝()′ln x＋·
＝，
令f′(x)＞0，解得 x＞e－2，
令f′(x)<0，解得 0<x<e－2，
所以 f(x)在(0，e－2)上单调递减，
在(e－2，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)得f(x)min＝f(e－2)＝a－，
显然 a＞时，f(x)＞0，无零点，
a＝时，f(x)＝0，有1个零点，
a<时，f(x)<0，有2个零点．
4．(2020·保定调研)已知函数 f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点 A.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
1
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