新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题

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第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题
考点一　分离参数法(综合型)
(2020·湖北武汉质检)已知 f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数 a的取值范围．
【解】　(1)因为函数 f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)<0，
得ln x＋1<0，解得 0<x<，所以 f(x)的单调递减区间是.令f′(x)>0，得ln x＋1>0，解得 x>，
所以 f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)因为 g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得 2xln x≤3x2＋2ax＋1恒成立．因为 x>0，所以
a≥ln x－x－在 x∈(0，＋∞)上恒成立．设 h(x)＝ln x－x－(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)
＝0，得x1＝1，x2＝－(舍)．
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x(0，1) 1 (1，＋∞)
h′(x)＋0－
h(x)极大值
所以当 x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，所以若 a≥h(x)
在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故实数 a的取值范围是[－2，＋
∞)．
(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，
可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不
等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．
(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”
转化关
通过分离参数法，先转化为 f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为
f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)
求最值关 求函数 g(x)在区间 D上的最大值(或最小值)问题
　(2020·石家庄质量检测)已知函数 f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x>0 时，函数 f(x)≥0恒成立，求实数 a的取值范围．
解：(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．
即f′(x)＝xex＋ex－4，
1
则f′(0)＝－3，f(0)＝2，
所以所求切线方程为 3x＋y－2＝0.
(2)由f(1)≥0，得a≥>0，
则f(x)≥0对任意的 x>0 恒成立可转化为≥对任意的 x>0 恒成立．
设函数 F(x)＝(x>0)，
则F′(x)＝－.
当0<x<1 时，F′(x)>0；
当x>1 时，F′(x)<0，
所以函数 F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以 F(x)max＝F(1)＝.
于是≥，解得 a≥.
故实数 a的取值范围是.
考点二　分类讨论法(综合型)
已知函数 f(x)＝ln x－ax，a∈R.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若不等式 f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求 a的取值范围．
【解】　(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，
则f(x)只有单调递增区间是(0，＋∞)．
②当a＞0时，由f′(x)＞0，
得0＜x＜；
由f′(x)＜0，得x＞；
所以 f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是.
(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝ln x－a(x－1)，x＞0，则g′(x)＝－a，注意到 g(1)＝0，
①当a≥1时，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，
所以 g(x)＜g(1)＝0，即a≥1时满足题意．
②当0＜a＜1时，令g′(x)＞0，
得0＜x＜；
令g′(x)＜0，得x＞.
则g(x)在上单调递增，
所以当 x∈时，g(x)＞g(1)＝0，
2
即0＜a＜1时不满足题意(舍去)．
③当a≤0时，g′(x)＝－a＞0，
则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当 x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，
即a≤0时不满足题意(舍去)．
综上所述，实数 a的取值范围是[1，＋∞)．
对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，
利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．
　(2020·合肥六校联考)已知函数 f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中 a
为常数．
(1)当a＝2时，求函数 f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a的取值范围．
解：(1)因为 a＝2，所以 f(x)＝(x＋1)ex，所以 f(0)＝1，
f′(x)＝(x＋2)ex，所以 f′(0)＝2，
所以所求切线方程 2x－y＋1＝0.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，
由题意得 h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
因为 h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，
所以 h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．
①若a≥0，则当 x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数 h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以 h(x)min＝h(0)＝a－1，
则a－1≥0，得a≥1.
②若a＜0，则当 x∈[0，－a)时，h′(x)≤0；
当x∈[－a，＋∞)时，h′(x)≥0，
所以函数 h(x)在[0，－a)上单调递减，在[－a，＋∞)上单调递增，
所以 h(x)min＝h(－a)，
又因为 h(－a)＜h(0)＝a－1＜0，所以不合题意．
综上，实数 a的取值范围为[1，＋∞)．
考点三　等价转化法(综合型)
设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在 x1，x2∈[0，2]使得 g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数
M；
(2)如果对于任意的 s，t∈，都有 f(s)≥g(t)成立，求实数 a的取值范围．
3
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