新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第2课时　高效演练分层突破

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[基础题组练]
1．函数 y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
解析：选C．因为 y＝2＝
2sin，所以 T＝＝π.
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若 f(b)＝2，则 f(－b)＝(　　)
A．0 B．3
C．－1 D．－2
解析：选A．因为 f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以 f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
3．若是函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx 图象的一个对称中心，则 ω的一个取值是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C．因为 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
4．设函数 f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为 x＝
D．f(x)在上单调递减
解析：选D．函数 f(x)＝cos 的图象可由 y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可
知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
5．已知函数 f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为 4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线 x＝对称 D．关于直线 x＝对称
解析：选B．函数 f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是 4π，而T＝＝4π，所以 ω＝，即f(x)
＝2sin.函数 f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得 x＝π＋2kπ(k∈Z)；令 k＝0得x＝π.函数 f(x)的对
称中心的横坐标为＋＝kπ，解得 x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.
1
6．若函数 y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则 ω的最小值为________．
解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以 ωmin＝2.
答案：2
7．(2020·无锡期末)在函数① y＝cos|2x|；② y＝|cos 2x|；③ y＝cos；④ y＝tan 2x中，
最小正周期为 π的所有函数的序号为________．
解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为 π；② y＝cos 2x，最小正周期为 π，由图象
知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③ y＝cos 的最小正周期 T＝＝π；④ y＝tan 2x的最小正周期
T＝.因此①③的最小正周期为 π.
答案：①③
8．已知函数 f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，其中 ω为常数，
且ω∈(1，2)，则函数 f(x)的最小正周期为________．
解析：由函数 f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，可得 ωπ－＝kπ
＋，k∈Z，
所以 ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以 ω＝，从而得函数 f(x)的最小正周期为＝.
答案：
9．已知函数 f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
解：因为 f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以 f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
10．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为 π.
(1)求当 f(x)为偶函数时 φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求 f(x)的单调递增区间．
解：由f(x)的最小正周期为 π，则T＝＝π，所以 ω＝2，
所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
所以 sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得 sin 2xcos φ＝0，
已知上式对∀x∈R都成立，
所以 cos φ＝0.因为 0<φ<，所以 φ＝.
(2)因为 f＝，所以 sin＝，
即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
2
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