新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第1课时　三角函数的图象与性质(一)

3.0 envi 2025-04-11 4 4 506.75KB 11 页 3知币

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第4讲　三角函数的图象与性质

一、知识梳理

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，

(2π，0)．

(2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π ，－ 1) ，，

(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}

值域 [－1，1] [－1，1] R

函数的最值

最大值 1，当且仅当

x ＝ 2 k π ＋， k ∈ Z ；最

小值－1，当且仅当 x

＝ 2 k π －， k ∈ Z

最大值 1，当且仅当

x ＝ 2 k π ， k ∈ Z ；

最小值－1，当且仅

当x ＝ 2 k π － π ， k ∈ Z

无最大值和最小值

单调性

增区间[ k ·2π －， k ·2 π

＋ ]( k ∈ Z ) ；

减区间[ k ·2π ＋， k ·2 π

＋ ]( k ∈ Z )

增区间 [ k ·2π －

π ， k ·2 π]( k ∈ Z ) ；

减区间[ k · 2 π ， k ·2 π ＋

π]( k ∈ Z )

增区间( k ·π －， k · π ＋ )

( k ∈ Z )

奇偶性奇函数偶函数奇函数

周期性

周期为

2kπ，k≠0，k∈Z，

最小正周期为 2 π

周期为

2kπ，k≠0，k∈Z，

最小正周期为 2π

周期为

kπ，k≠0，k∈Z，最

小正周期为 π

对称

性

对称中心 ( k π ， 0 ) ， k ∈ Z ， k ∈ Z ， k ∈ Z

对称轴 x ＝ k π ＋， k ∈ Z x ＝ k π ， k ∈ Z 无对称轴

零点 kπ，k∈Zkπ＋，k∈Zkπ，k∈Z

3.周期函数的定义

对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数

T ，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 f ( x

＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T

叫做这个函数的周期；函数 y＝

Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为 T＝；函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期为 T＝.

常用结论

1．函数 y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于 x

轴的直线，如y＝cos x的对称轴为 x＝kπ(k∈Z)，而不是 x＝2kπ(k∈Z)．

2．对于 y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．

二、教材衍化

1．若函数 y＝2sin 2x－1的最小正周期为 T，最大值为 A，则(　　)

A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2

答案：A

2．函数 y＝tan 2x的定义域是(　　)

A． B．

C． D．

答案：D

3．函数 y＝3－2cos 的最大值为________，此时 x＝________．

答案：5　＋2kπ(k∈Z)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(　　)

(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则 y的最大值是 k＋1.(　　)

(3)若非零实数 T是函数 f(x)的周期，则 kT(k是非零整数)也是函数 f(x)的周期．(　　)

(4)函数 y＝sin x图象的对称轴方程为 x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)

(5)函数 y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、易错纠偏

常见误区(1)忽视 y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；

(2)忽视正、余弦函数的有界性；

(3)不注意正切函数的定义域．

1．函数 y＝1－2cos x的单调递减区间是________．

答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

2．函数 f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．

解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]，当cos x＝时，

f(x)取得最大值 1.

答案：1

3．函数 y＝cos xtan x的值域是________．

解析：y＝cos xtan x＝sin x

又cos x≠0，

所以 sin x≠±1，

所以 y＝sin x∈(－1，1)．

答案：(－1，1)

第1课时　三角函数的图象与性质(一)

考点一　三角函数的定义域(基础型)

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函

数图象来求解．

1．函数 f(x)＝－2tan 的定义域是(　　)

A．　　　　　　

B．

C．

D．

解析：选D．由 2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．

2．函数 y＝lg sin x＋的定义域为________．

解析：要使函数有意义，则有

即

解得(k∈Z)，

所以 2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数 y的定义域为.

答案：

3．(一题多解)函数 y＝的定义域为________．

解析：法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画

出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0，2π]内，满足 sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原

函数的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法三：sin x－cos x＝sin(x－)≥0，

将x－视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x的图象和性质可知 2kπ≤x－≤π＋

2kπ(k∈Z)，

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