新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第1课时　高效演练分层突破(1)

3.0 envi 2025-04-11 5 4 104KB 3 页 3知币
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[基础题组练]
1．(2020·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)的导函数 f′(x)满足 xf′
(x)>1，则(　　)
A．f(2)－f(1)>ln 2　　　 B．f(2)－f(1)<ln 2
C．f(2)－f(1)>1 D．f(2)－f(1)<1
解析：选A．根据题意，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，则xf′(x)>1⇒f′(x)>＝(ln x)′，
即f′(x)－(ln x)′>0.令F(x)＝f(x)－ln x，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(2)－ln 2>f(1)
－ln 1，即f(2)－f(1)>ln 2.
2．若 0<x1<x2<1，则(　　)
A．ex2－ex1>ln x2－ln x1 B．e x2－e x1<ln x2－ln x1
C．x2e x1>x1e x2 D．x2e x1<x1e x2
解析：选C．令 f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当0<x<1 时，f′(x)<0，
即f(x)在(0，1)上单调递减，因为 0<x1<x2<1，
所以 f(x2)<f(x1)，即<，
所以 x2e x1>x1e x2，故选 C．
3．已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)设x＝2是函数 f(x)的极值点，求实数 a的值，并求 f(x)的单调区间；
(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.
从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当0<x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0.
所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当0<x<1 时，g′(x)<0；当 x>1 时，g′(x)>0.所以 x＝1是g(x)的最小值点．故当 x>0 时，
g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
4．(2020·武汉调研)已知函数 f(x)＝ln x＋，a∈R.
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)当a>0 时，证明：f(x)≥.
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