新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　圆的方程

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第3讲　圆的方程

一、知识梳理

1．圆的方程

标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心( a ， b )

半径为 r

一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

条件：D 2

＋ E 2

－ 4 F ＞ 0

圆心：

半径：r ＝

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

常用结论

1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

2．二元二次方程表示圆的条件

对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视 D2＋E2－4F＞0这一条件．

二、教材衍化

1．圆 x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________，半径________．

答案：(1，－2)　

2．若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为________．

答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18

3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．

答案：x2＋y2－2x＝0

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)方程 x2＋y2＝a2表示半径为 a的圆．(　　)

(3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)

(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2

－4AF＞0.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)忽视方程表示圆的条件 D2＋E2－4F＞0；

(2)错用点与圆的位置关系判定．

1．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)

A．＜m＜1　　　　　　 B．m＜或 m＞1

C．m＜ D．m＞1

解析：选B．由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜或m＞1.

2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数 a的取值范围是________．

解析：因为点(1，1)在圆的内部，

所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，

所以－1＜a＜1.

答案：(－1，1)

考点一　求圆的方程(基础型)

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．

核心素养：数学运算

(1)圆心在 x轴上，半径长为 2，且过点 A(2，1)的圆的方程是(　　)

A．(x－2－)2＋y2＝4　　 B．(x－2＋)2＋y2＝4

C．(x－2±)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝4

(2)(一题多解)圆心在直线 x－2y－3＝0上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程

为________．

【解析】　(1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点 A(2，1)，所以(2

－a)2＋12＝4，解得 a＝2±，所以所求圆的方程为(x－2±)2＋y2＝4.

(2)法一：设点 C为圆心，因为点 C在直线 x－2y－3＝0上，所以可设点 C的坐标为(2a

＋3，a)．

又该圆经过 A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即

＝，解得 a＝－2，

所以圆心 C的坐标为(－1，－2)，半径 r＝，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得解得 a＝－1，b＝－2，r2＝10，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

法三：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心坐标为，

由题意得解得 D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

【答案】　(1)C　(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于

a，b，r的方程组，从而求出 a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关

于D，E，F的方程组，进而求出 D，E，F的值．

[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．　

1．(2020· 内蒙古巴彦淖尔月考 )在平面直角坐标系中，点

O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形 OAB 的外接圆方程是________．

解析：设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F＝0，由点

O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得解得故三角形的外接圆方程为 x2＋y2－6x－2y＝0.

答案：x2＋y2－6x－2y＝0

2．若圆 C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线 y＝1相切，则圆 C的方程是________．

解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点 (0，0)和(4，0)，设圆心为

(2，m)，又因为圆与直线 y＝1相切，

所以＝|1－m|，解得 m＝－，

所以圆 C的方程为(x－2)2＋＝.

答案：(x－2)2＋＝

考点二　与圆有关的最值问题(综合型)

求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想．

角度一　借助几何性质求最值

已知实数 x，y满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k取最大值或最小值，此时＝，解得 k＝±(如图 1)．

所以的最大值为，最小值为－.

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