新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　平面向量的数量积及应用举例

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第3讲　平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝θ叫做向量 a与b
的夹角．
(2)范围：向量夹角 θ的范围是 0 ° ≤ θ ≤ 180° ．
[注意]　当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量 a，b的夹角为 θ，则数量| a||b |· cos _θ
叫做 a与b的数量
积，记作 a·b
投影 | a | cos _θ
叫做向量 a在b方向上的投影，
| b | cos _θ
叫做向量 b在a方向上的投影
几何意义 数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b | cos _θ
的乘积
[注意]　投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝a·c ＋ b·c .
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为 θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论 几何表示 坐标表示
模|a|＝|a|＝
夹角 cos θ＝cos θ＝
a
⊥
b的充要条件 a·b ＝ 0 x1x2＋ y 1y2＝ 0
常用结论
(1)两向量 a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量 a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、教材衍化
已知 a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为 135°，则|b|为(　　)
A．12 B．6
1
C．3 D．3
解析：选B．a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(
)
(3)由a·b＝0可得 a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则 a和b的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a和b的夹角为钝角．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则BA·AC的值为________．
解析：在△ABC 中，由余弦定理得 cos A＝＝＝.
所以BA·AC＝|BA||AC|cos(π－A)＝－|BA||AC|·cos A＝－3×2×＝－.
答案：－
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角 θ＝120°，则向量 b在向量 a方向上的投影为____
____．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
3．已知向量 a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且 a⊥(a－λb)，则实数 λ＝________．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为 a⊥(a－λb)，所以 a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－
＝0，所以 λ＝2.
答案：2
考点一　平面向量数量积的运算(基础型)
复习指导 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量
投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
核心素养：数学运算、数学抽象
(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2，AD＝
2
5，∠A＝30°，点 E在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则BD·AE＝________．
【解析】　法一：在等腰△ABE 中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD·AE＝
(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12
－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.
法二：在△ABD 中，由余弦定理可得
BD＝＝，
所以 cos∠ABD＝＝－，则sin∠ABD＝.设BD与AE的夹角为 θ，则cos θ＝cos(180°－
∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE
中，易得 AE＝BE＝2，故BD·AE＝×2×＝－1.
【答案】　－1
求向量 a，b的数量积 a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．　
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝
x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运
用坐标法求解．
1．(2020·河南新乡二模)已知 a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若 a∥b，
则b·c＝(　　)
A．－7 B．－3
C．3 D．7
解析：选B．因为 a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以 1×(m＋3)－2m＝0，所以
m＝3，所以 b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选 B．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C．因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|BC|＝1，所以＝1，
所以 t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选 C．
3．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形 ABC 中，∠C＝，AB＝4，AC
＝2，若AD＝AB，则CD·CB＝(　　)
A．－18 B．－6
C．18 D．6
解析：选C．通解：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，CA·CB＝0.CD·CB＝(CA＋
AD)·CB＝CA·CB＋AB·CB＝(CB－CA)·CB＝CB2＝18，故选 C．
3
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